Flächeninhalt eines Dreiecks — Alle Formeln mit Beispielen

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, verwendest du die Formel, die zu den gegebenen Informationen passt. Wenn in der Aufgabe eine Grundseite $b$ und die senkrechte Höhe $h$ gegeben sind, lautet die wichtigste Formel

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Auch wenn die Höhe nicht gegeben ist, kannst du denselben Flächeninhalt noch aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, aus allen drei Seitenlängen oder aus Koordinaten bestimmen. Entscheidend ist, die Formel zu wählen, deren Voraussetzung wirklich zum Dreieck passt.

Warum in der Dreiecksformel $\frac{1}{2}$ steht

Ein Dreieck mit Grundseite $b$ und Höhe $h$ hat den halben Flächeninhalt eines Rechtecks oder Parallelogramms mit derselben Grundseite und Höhe. Deshalb erscheint der Faktor $\frac{1}{2}$.

Die Bedingung ist wichtig: $h$ muss senkrecht auf der gewählten Grundseite stehen. Eine schräge Seite ist keine Höhe, außer sie trifft die Grundseite im rechten Winkel.

Formeln für den Flächeninhalt eines Dreiecks und wann man sie verwendet

Grundseite und senkrechte Höhe

Verwende diese Formel, wenn eine Grundseite und die zugehörige Höhe bekannt sind.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Das ist die direkteste Formel und meistens auch die schnellste.

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

Verwende diese Formel, wenn du die Seiten $a$ und $b$ sowie den Winkel $C$ zwischen ihnen kennst.

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

Das funktioniert, weil die Höhe zur Seite $b$ gleich $a\sin C$ ist.

Heronsche Formel

Verwende diese Formel, wenn du alle drei Seiten $a$, $b$ und $c$ kennst, aber nicht die Höhe.

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Hier ist $s$ der halbe Umfang. Diese Formel ist nützlich, wenn die Seitenlängen bekannt sind, aber weder ein Winkel noch eine Höhe gegeben ist.

Koordinatenformel

Verwende diese Formel, wenn das Dreieck durch die Punkte $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ und $(x_3,y_3)$ in der Koordinatenebene gegeben ist.

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

Der Betrag ist wichtig, weil ein Flächeninhalt nicht negativ sein kann.

Formel für das gleichseitige Dreieck

Verwende diese Formel nur, wenn alle drei Seiten gleich lang sind und jede Seite die Länge $a$ hat.

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

Das ist ein Spezialfall und keine allgemeine Dreiecksformel.

Durchgerechnetes Beispiel: Flächeninhalt eines $3$-$4$-$5$-Dreiecks

Angenommen, ein Dreieck hat die Seitenlängen $3$, $4$ und $5$. Da $3^2 + 4^2 = 5^2$ gilt, ist es ein rechtwinkliges Dreieck, also stehen die Seiten mit den Längen $3$ und $4$ senkrecht aufeinander. Damit sind sie die einfachste Wahl für Grundseite und Höhe.

Setze $b = 4$ und $h = 3$.

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

Der Flächeninhalt beträgt also $6$ Flächeneinheiten.

Zur Kontrolle kannst du die Heronsche Formel verwenden, sie liefert dasselbe Ergebnis:

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

Die Aussage ist nicht, dass du jedes Mal jede Formel verwenden sollst. Die Aussage ist, dass verschiedene Formeln denselben Flächeninhalt liefern, wenn ihre Voraussetzungen erfüllt sind.

Häufige Fehler beim Flächeninhalt eines Dreiecks

Der häufigste Fehler ist, eine Seitenlänge als Höhe zu verwenden, ohne zu prüfen, ob sie senkrecht auf der gewählten Grundseite steht.

Ein weiterer Fehler ist, $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ mit einem Winkel zu verwenden, der nicht zwischen den Seiten $a$ und $b$ liegt. In dieser Formel muss es der eingeschlossene Winkel sein.

Bei der Heronschen Formel vergessen Schülerinnen und Schüler oft, zuerst den halben Umfang zu berechnen, oder verwechseln $s$ mit dem gesamten Umfang. Auch kleine Rechenfehler sind wichtig, weil alles unter einer Quadratwurzel steht.

Bei Koordinatenaufgaben kann das Vergessen des Betrags zu einer negativen Zahl führen, und das kann kein Flächeninhalt sein.

Wann welche Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks nützlich ist

Verwende $A = \frac{1}{2}bh$ in der grundlegenden Geometrie, bei Konstruktionsskizzen und in jeder Aufgabe, in der die Höhe leicht zu erkennen oder zu berechnen ist.

Verwende $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ in der Trigonometrie und bei vermessungsähnlichen Aufgaben, bei denen zwei Seiten und ein Winkel bekannt sind.

Verwende die Heronsche Formel, wenn alle drei Seitenlängen bekannt sind und das Einführen der Höhe umständlich wäre.

Verwende die Koordinatenformel in der analytischen Geometrie, bei Graphenaufgaben und in Fällen, in denen das Dreieck durch Eckpunkte statt durch Seiten-Höhen-Angaben beschrieben ist.

Verwende die Formel für das gleichseitige Dreieck nur, wenn das Dreieck gleichseitig ist. Wenn das Dreieck nur gleichschenklig ist, gilt diese Abkürzung nicht automatisch.

So wählst du schnell die richtige Formel

Wenn du Grundseite und senkrechte Höhe kennst, verwende $A = \frac{1}{2}bh$.

Wenn du zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennst, verwende $A = \frac{1}{2}ab\sin C$.

Wenn du alle drei Seiten kennst, verwende die Heronsche Formel.

Wenn du die Koordinaten kennst, verwende die Koordinatenformel.

Wenn das Dreieck gleichseitig ist, kannst du die spezielle Kurzformel verwenden.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere eine eigene Variante mit einem Dreieck, dessen Seiten $5$, $12$ und $13$ sind. Überlege zuerst, um welche Art von Dreieck es sich handelt, und bestimme dann den Flächeninhalt auf dem schnellsten Weg. Löse die Aufgabe danach noch einmal mit der Heronschen Formel und prüfe, ob beide Ergebnisse übereinstimmen.