พื้นที่ผิวทรงกลม - สูตรและตัวอย่าง

พื้นที่ผิวของทรงกลมคือพื้นที่ทั้งหมดที่ปกคลุมด้านนอกของทรงกลม ถ้ารัศมีเป็น $r$ สูตรคือ

$$A = 4\pi r^2$$

ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง $d$ มาแทน ให้แปลงก่อนโดยใช้ $r = d/2$ คุณยังสามารถเขียนความสัมพันธ์เดียวกันนี้ใหม่ได้เป็น

$$A = \pi d^2$$

เพราะ $4\pi (d/2)^2 = \pi d^2$.

ใช้ $4\pi r^2$ เมื่อคุณทราบรัศมี ใช้ $\pi d^2$ ได้ก็ต่อเมื่อแน่ใจว่า $d$ คือเส้นผ่านศูนย์กลาง

สูตรพื้นที่ผิวหมายความว่าอย่างไร

พื้นที่ผิววัดเป็นหน่วยกำลังสอง เพราะอธิบายการปกคลุมพื้นที่ ไม่ใช่ความยาว ถ้ารัศมีมีหน่วยเป็นเซนติเมตร คำตอบจะมีหน่วยเป็น $\text{cm}^2$.

พจน์ $r^2$ หมายความว่าพื้นที่เพิ่มขึ้นตามกำลังสองของรัศมี ถ้ารัศมีเพิ่มเป็น 2 เท่า พื้นที่ผิวจะเพิ่มเป็น 4 เท่า

ตัวคูณ $4\pi$ เป็นค่าที่เฉพาะสำหรับทรงกลม การเปรียบเทียบที่มีประโยชน์คือ พื้นที่ผิวของทรงกลมมีค่าเป็น 4 เท่าของพื้นที่วงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน เพราะวงกลมรัศมี $r$ มีพื้นที่ $\pi r^2$.

ตัวอย่างทำโจทย์: พื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี $5$ ซม.

สมมติว่าทรงกลมมีรัศมี $5\text{ cm}$ เริ่มจากสูตร:

$$A = 4\pi r^2$$

แทนค่า $r = 5$:

$$A = 4\pi(5^2)$$

ยกกำลังสองของรัศมีและจัดรูป:

$$A = 4\pi(25) = 100\pi \text{ cm}^2$$

ดังนั้นพื้นที่ผิวแบบค่าที่แน่นอนคือ $100\pi \text{ cm}^2$.

ถ้าต้องการค่าประมาณทศนิยม ให้ใช้ $\pi \approx 3.14$:

$$A \approx 314 \text{ cm}^2$$

โดยปกติแค่นี้ก็เพียงพอสำหรับคำตอบที่สมบูรณ์: ใช้รูปแบบค่าที่แน่นอนถ้าโจทย์ต้องการ $\pi$ และใช้รูปแบบทศนิยมถ้าโจทย์ขอค่าประมาณ

ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลางมา

ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางเป็น $8\text{ m}$ รัศมีจะเป็น $4\text{ m}$ ดังนั้น

$$A = 4\pi(4^2) = 64\pi \text{ m}^2$$

คุณสามารถใช้รูปแบบที่เท่ากันในรูปของเส้นผ่านศูนย์กลางได้โดยตรงเช่นกัน:

$$A = \pi d^2 = \pi(8^2) = 64\pi \text{ m}^2$$

ทั้งสองวิธีให้คำตอบตรงกัน สิ่งสำคัญคือคุณต้องรู้ว่าค่าที่เริ่มต้นมานั้นเป็นรัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลาง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับพื้นที่ผิวของทรงกลม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมี ถ้าสูตรเขียนเป็น $r$ ก็หมายถึงรัศมี

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือการลืมยกกำลังสองของรัศมี การใช้ $4\pi r$ แทน $4\pi r^2$ จะทำให้ได้ทั้งหน่วยและค่าที่ผิด

นักเรียนบางคนยังลืมใส่หน่วยกำลังสองในคำตอบสุดท้าย พื้นที่ผิวควรเขียนเป็นหน่วยอย่าง $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, หรือ $\text{in}^2$.

ถ้าโจทย์ขอคำตอบแบบค่าที่แน่นอน ให้คง $\pi$ ไว้ในผลลัพธ์ ถ้าโจทย์ขอค่าประมาณทศนิยม ให้ปัดเศษตอนท้ายเท่านั้น เว้นแต่คำสั่งจะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

ใช้สูตรนี้เมื่อใด

พื้นที่ผิวของทรงกลมมีความสำคัญเมื่อคุณสนใจพื้นที่ด้านนอกที่ปกคลุมวัตถุกลม ในวิชาเรขาคณิต มักหมายถึงการแก้โจทย์การวัด ในการประยุกต์ใช้ แนวคิดเดียวกันนี้ปรากฏเมื่อประมาณพื้นที่เคลือบ พื้นที่แลกเปลี่ยนความร้อน หรือพื้นผิวภายนอกที่สัมผัสอยู่ โดยมีเงื่อนไขว่าวัตถุนั้นสามารถแทนได้ใกล้เคียงด้วยทรงกลม

เงื่อนไขนี้สำคัญ วัตถุจริงแทบไม่เป็นทรงกลมสมบูรณ์ ดังนั้นสูตรนี้จะแม่นยำก็ต่อเมื่อแบบจำลองทรงกลมเป็นการประมาณที่ดี

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

หาพื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี $9\text{ cm}$ จากนั้นแก้โจทย์เดิมอีกครั้งโดยเริ่มจากเส้นผ่านศูนย์กลาง $18\text{ cm}$ และตรวจสอบว่าทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์เหมือนกัน