Área de um Triângulo — Todas as Fórmulas com Exemplos

Para encontrar a área de um triângulo, use a fórmula que corresponde às informações que você tem. Se o problema fornece uma base $b$ e a altura perpendicular $h$, a fórmula principal é

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Se a altura não for dada, ainda é possível encontrar a mesma área a partir de dois lados e do ângulo entre eles, dos comprimentos dos três lados ou das coordenadas. O ponto principal é escolher a fórmula cuja condição realmente se ajusta ao triângulo.

Por que a fórmula do triângulo tem $\frac{1}{2}$

Um triângulo com base $b$ e altura $h$ tem metade da área de um retângulo ou paralelogramo construído sobre a mesma base e altura. É por isso que o fator $\frac{1}{2}$ aparece.

A condição importa: $h$ deve ser perpendicular à base que você escolheu. Um lado inclinado não é uma altura, a menos que encontre a base em um ângulo reto.

Fórmulas da área de um triângulo e quando usar cada uma

Base e altura perpendicular

Use esta quando uma base e sua altura correspondente são conhecidas.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Esta é a fórmula mais direta e geralmente a mais rápida.

Dois lados e o ângulo entre eles

Use esta quando você conhece os lados $a$ e $b$ e o ângulo $C$ entre eles.

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

Isso funciona porque a altura em relação ao lado $b$ é $a\sin C$.

Fórmula de Heron

Use esta quando você conhece os três lados $a$, $b$ e $c$, mas não a altura.

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Aqui, $s$ é o semiperímetro. Essa fórmula é útil quando os comprimentos dos lados são conhecidos, mas nenhum ângulo ou altura foi dado.

Fórmula das coordenadas

Use esta quando o triângulo é dado pelos pontos $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ e $(x_3,y_3)$ no plano cartesiano.

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

O valor absoluto é importante porque a área não deve ser negativa.

Fórmula do triângulo equilátero

Use esta apenas quando os três lados são iguais e cada lado tem comprimento $a$.

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

Este é um caso especial, não uma fórmula geral para triângulos.

Exemplo resolvido: área de um triângulo $3$-$4$-$5$

Suponha que um triângulo tenha lados de comprimentos $3$, $4$ e $5$. Como $3^2 + 4^2 = 5^2$, ele é um triângulo retângulo, então os lados de comprimentos $3$ e $4$ são perpendiculares. Isso faz deles a base e a altura mais fáceis de usar.

Seja $b = 4$ e $h = 3$.

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

Portanto, a área é $6$ unidades quadradas.

Se você quiser conferir, a fórmula de Heron dá o mesmo resultado:

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

A lição não é que você deve usar todas as fórmulas toda vez. A lição é que fórmulas diferentes dão a mesma área quando suas condições são satisfeitas.

Erros comuns na área de triângulos

O erro mais comum é usar o comprimento de um lado como altura sem verificar se ele é perpendicular à base escolhida.

Outro erro é usar $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ com um ângulo que não está entre os lados $a$ e $b$. Nessa fórmula, o ângulo deve ser o ângulo entre os dois lados.

Na fórmula de Heron, os alunos muitas vezes esquecem de calcular primeiro o semiperímetro ou confundem $s$ com o perímetro total. Pequenos erros aritméticos também importam porque tudo está dentro de uma raiz quadrada.

Em problemas com coordenadas, esquecer o valor absoluto pode produzir um número negativo, o que não pode ser uma área.

Quando cada fórmula da área de um triângulo é útil

Use $A = \frac{1}{2}bh$ em geometria básica, esboços de construção e qualquer problema em que a altura seja fácil de ver ou calcular.

Use $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ em trigonometria e em problemas no estilo de topografia, nos quais dois lados e um ângulo são conhecidos.

Use a fórmula de Heron quando os comprimentos dos três lados são conhecidos e introduzir a altura seria inconveniente.

Use a fórmula das coordenadas em geometria analítica, problemas com gráficos e casos em que o triângulo é definido por vértices em vez de dados de base e altura.

Use a fórmula do equilátero apenas quando o triângulo for equilátero. Se o triângulo for apenas isósceles, esse atalho não se aplica automaticamente.

Como escolher a fórmula certa rapidamente

Se você conhece a base e a altura perpendicular, use $A = \frac{1}{2}bh$.

Se você conhece dois lados e o ângulo entre eles, use $A = \frac{1}{2}ab\sin C$.

Se você conhece os três lados, use a fórmula de Heron.

Se você conhece as coordenadas, use a fórmula das coordenadas.

Se o triângulo for equilátero, o atalho especial está disponível.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com um triângulo cujos lados são $5$, $12$ e $13$. Primeiro, observe que tipo de triângulo ele é e depois encontre a área da forma mais rápida. Depois disso, resolva novamente com a fórmula de Heron e verifique se as duas respostas coincidem.