삼각형의 넓이 — 모든 공식과 예제

삼각형의 넓이를 구할 때는 주어진 정보에 맞는 공식을 사용하면 됩니다. 문제에서 밑변 $b$와 그에 수직인 높이 $h$가 주어졌다면, 기본 공식은 다음과 같습니다.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

높이가 주어지지 않아도 넓이는 구할 수 있습니다. 두 변과 그 사이각, 세 변의 길이, 또는 좌표를 이용해 같은 넓이를 구할 수 있습니다. 핵심은 그 삼각형의 조건에 실제로 맞는 공식을 고르는 것입니다.

삼각형 넓이 공식에 $\frac{1}{2}$가 들어가는 이유

밑변이 $b$이고 높이가 $h$인 삼각형의 넓이는, 같은 밑변과 높이를 가진 직사각형이나 평행사변형 넓이의 절반입니다. 그래서 $\frac{1}{2}$라는 계수가 붙습니다.

조건도 중요합니다. $h$는 선택한 밑변에 수직이어야 합니다. 기울어진 변은 밑변과 직각으로 만나지 않으면 높이가 아닙니다.

삼각형의 넓이 공식과 각각을 사용하는 경우

밑변과 수직 높이

밑변과 그에 대응하는 높이를 알고 있을 때 사용합니다.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

가장 직접적인 공식이며, 보통 가장 빠르게 계산할 수 있습니다.

두 변과 그 사이각

변 $a$, $b$와 그 사이의 각 $C$를 알고 있을 때 사용합니다.

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

이 공식이 성립하는 이유는 변 $b$에 대한 높이가 $a\sin C$이기 때문입니다.

헤론의 공식

세 변 $a$, $b$, $c$의 길이는 알지만 높이는 모를 때 사용합니다.

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

여기서 $s$는 반둘레입니다. 각이나 높이가 주어지지 않고 변의 길이만 알려졌을 때 유용한 공식입니다.

좌표 공식

좌표평면 위의 세 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$로 삼각형이 주어졌을 때 사용합니다.

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

넓이는 음수가 될 수 없으므로 절댓값이 중요합니다.

정삼각형 공식

세 변의 길이가 모두 같고 각 변의 길이가 $a$일 때만 사용합니다.

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

이것은 특수한 경우의 공식이지, 모든 삼각형에 적용되는 일반 공식은 아닙니다.

풀이 예제: $3$-$4$-$5$ 삼각형의 넓이

한 삼각형의 세 변의 길이가 $3$, $4$, $5$라고 해 봅시다. $3^2 + 4^2 = 5^2$이므로 직각삼각형이고, 길이가 $3$과 $4$인 두 변은 서로 수직입니다. 따라서 이 두 변을 밑변과 높이로 사용하는 것이 가장 쉽습니다.

$b = 4$, $h = 3$이라고 두면,

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

따라서 넓이는 $6$ 제곱단위입니다.

확인하고 싶다면 헤론의 공식으로도 같은 결과가 나옵니다.

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

여기서 중요한 점은 매번 모든 공식을 다 써야 한다는 것이 아닙니다. 조건만 맞으면 서로 다른 공식으로도 같은 넓이가 나온다는 점입니다.

삼각형 넓이에서 자주 하는 실수

가장 흔한 실수는, 어떤 변이든 확인 없이 높이로 사용하는 것입니다. 높이는 선택한 밑변에 수직이어야 합니다.

또 다른 실수는 $A = \frac{1}{2}ab\sin C$에서 $a$와 $b$ 사이의 각이 아닌 다른 각을 넣는 것입니다. 이 공식에서는 반드시 그 두 변 사이의 각을 사용해야 합니다.

헤론의 공식에서는 반둘레를 먼저 구하지 않거나, $s$를 전체 둘레와 혼동하는 경우가 많습니다. 또 모든 값이 제곱근 안에 들어가므로 작은 계산 실수도 결과에 영향을 줍니다.

좌표 문제에서는 절댓값을 빼먹어 음수가 나올 수 있는데, 넓이는 음수가 될 수 없습니다.

각 삼각형 넓이 공식이 유용한 경우

$A = \frac{1}{2}bh$는 기본 기하 문제, 도형 스케치, 그리고 높이를 쉽게 확인하거나 계산할 수 있는 문제에서 사용합니다.

$A = \frac{1}{2}ab\sin C$는 삼각비 문제나 두 변과 한 각이 주어지는 측량형 문제에서 유용합니다.

헤론의 공식은 세 변의 길이는 모두 알지만 높이를 따로 구하기 번거로울 때 사용합니다.

좌표 공식은 해석기하, 그래프 문제, 또는 밑변과 높이 대신 꼭짓점 좌표로 삼각형이 주어질 때 사용합니다.

정삼각형 공식은 삼각형이 정삼각형일 때만 사용합니다. 단지 이등변삼각형이라는 이유만으로는 이 공식을 바로 쓸 수 없습니다.

알맞은 공식을 빠르게 고르는 방법

밑변과 수직 높이를 알면 $A = \frac{1}{2}bh$를 사용합니다.

두 변과 그 사이각을 알면 $A = \frac{1}{2}ab\sin C$를 사용합니다.

세 변의 길이를 모두 알면 헤론의 공식을 사용합니다.

좌표를 알면 좌표 공식을 사용합니다.

정삼각형이라면 특수한 지름길 공식을 사용할 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

변의 길이가 $5$, $12$, $13$인 삼각형으로 직접 풀어 보세요. 먼저 어떤 종류의 삼각형인지 파악한 뒤, 가장 빠른 방법으로 넓이를 구해 보세요. 그다음 헤론의 공식으로 다시 풀어서 두 답이 일치하는지도 확인해 보세요.