Εμβαδόν τριγώνου — Όλοι οι τύποι με παραδείγματα

Για να βρεις το εμβαδόν ενός τριγώνου, χρησιμοποίησε τον τύπο που ταιριάζει στα στοιχεία που έχεις. Αν η άσκηση δίνει μια βάση $b$ και το κάθετο ύψος $h$, ο βασικός τύπος είναι

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Αν δεν δίνεται το ύψος, μπορείς πάλι να βρεις το ίδιο εμβαδόν από δύο πλευρές και τη μεταξύ τους γωνία, από τα μήκη και των τριών πλευρών ή από συντεταγμένες. Το σημαντικό είναι να επιλέξεις τον τύπο του οποίου η προϋπόθεση ταιριάζει πραγματικά στο τρίγωνο.

Γιατί ο τύπος του τριγώνου έχει το $\frac{1}{2}$

Ένα τρίγωνο με βάση $b$ και ύψος $h$ έχει το μισό εμβαδόν από ένα ορθογώνιο ή ένα παραλληλόγραμμο με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Γι’ αυτό εμφανίζεται ο παράγοντας $\frac{1}{2}$.

Η προϋπόθεση έχει σημασία: το $h$ πρέπει να είναι κάθετο στη βάση που διάλεξες. Μια λοξή πλευρά δεν είναι ύψος, εκτός αν σχηματίζει ορθή γωνία με τη βάση.

Τύποι για το εμβαδόν τριγώνου και πότε χρησιμοποιείται ο καθένας

Βάση και κάθετο ύψος

Χρησιμοποίησέ τον όταν είναι γνωστές μια βάση και το αντίστοιχο ύψος της.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Αυτός είναι ο πιο άμεσος τύπος και συνήθως ο πιο γρήγορος.

Δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία

Χρησιμοποίησέ τον όταν γνωρίζεις τις πλευρές $a$ και $b$ και τη γωνία $C$ ανάμεσά τους.

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

Αυτό ισχύει επειδή το ύψος ως προς την πλευρά $b$ είναι $a\sin C$.

Τύπος του Heron

Χρησιμοποίησέ τον όταν γνωρίζεις και τις τρεις πλευρές $a$, $b$ και $c$, αλλά όχι το ύψος.

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Εδώ, το $s$ είναι η ημιπερίμετρος. Αυτός ο τύπος είναι χρήσιμος όταν είναι γνωστά τα μήκη των πλευρών αλλά δεν δίνεται γωνία ή ύψος.

Τύπος με συντεταγμένες

Χρησιμοποίησέ τον όταν το τρίγωνο δίνεται από τα σημεία $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ και $(x_3,y_3)$ στο καρτεσιανό επίπεδο.

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

Η απόλυτη τιμή είναι σημαντική, επειδή το εμβαδόν δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Τύπος για ισόπλευρο τρίγωνο

Χρησιμοποίησέ τον μόνο όταν και οι τρεις πλευρές είναι ίσες και κάθε πλευρά έχει μήκος $a$.

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση, όχι ένας γενικός τύπος για κάθε τρίγωνο.

Λυμένο παράδειγμα: εμβαδόν τριγώνου $3$-$4$-$5$

Έστω ότι ένα τρίγωνο έχει πλευρές μήκους $3$, $4$ και $5$. Αφού $3^2 + 4^2 = 5^2$, είναι ορθογώνιο τρίγωνο, άρα οι πλευρές με μήκη $3$ και $4$ είναι κάθετες. Αυτό τις κάνει την πιο εύκολη βάση και το πιο εύκολο ύψος για χρήση.

Θέτουμε $b = 4$ και $h = 3$.

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

Άρα το εμβαδόν είναι $6$ τετραγωνικές μονάδες.

Αν θέλεις έλεγχο, ο τύπος του Heron δίνει το ίδιο αποτέλεσμα:

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

Το συμπέρασμα δεν είναι ότι πρέπει να χρησιμοποιείς κάθε φορά όλους τους τύπους. Το συμπέρασμα είναι ότι διαφορετικοί τύποι δίνουν το ίδιο εμβαδόν όταν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις τους.

Συνηθισμένα λάθη στο εμβαδόν τριγώνου

Το πιο συνηθισμένο λάθος είναι να χρησιμοποιείται ένα μήκος πλευράς ως ύψος χωρίς να ελέγχεται αν είναι κάθετο στην επιλεγμένη βάση.

Ένα άλλο λάθος είναι η χρήση του $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ με μια γωνία που δεν βρίσκεται ανάμεσα στις πλευρές $a$ και $b$. Σε αυτόν τον τύπο, η γωνία πρέπει να είναι η περιεχόμενη γωνία.

Στον τύπο του Heron, οι μαθητές συχνά ξεχνούν να υπολογίσουν πρώτα την ημιπερίμετρο ή μπερδεύουν το $s$ με την πλήρη περίμετρο. Μικρά αριθμητικά λάθη έχουν επίσης σημασία, επειδή όλα βρίσκονται μέσα σε τετραγωνική ρίζα.

Στις ασκήσεις με συντεταγμένες, η παράλειψη της απόλυτης τιμής μπορεί να δώσει αρνητικό αριθμό, κάτι που δεν μπορεί να είναι εμβαδόν.

Πότε είναι χρήσιμος κάθε τύπος για το εμβαδόν τριγώνου

Χρησιμοποίησε το $A = \frac{1}{2}bh$ στη βασική γεωμετρία, σε κατασκευαστικά σχήματα και σε κάθε άσκηση όπου το ύψος φαίνεται ή υπολογίζεται εύκολα.

Χρησιμοποίησε το $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ στην τριγωνομετρία και σε προβλήματα τύπου τοπογραφίας όπου είναι γνωστές δύο πλευρές και μία γωνία.

Χρησιμοποίησε τον τύπο του Heron όταν είναι γνωστά και τα τρία μήκη πλευρών και η εισαγωγή του ύψους θα ήταν άβολη.

Χρησιμοποίησε τον τύπο με συντεταγμένες στην αναλυτική γεωμετρία, σε ασκήσεις γραφημάτων και σε περιπτώσεις όπου το τρίγωνο ορίζεται από κορυφές αντί για δεδομένα βάσης και ύψους.

Χρησιμοποίησε τον τύπο για ισόπλευρο μόνο όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Αν το τρίγωνο είναι απλώς ισοσκελές, αυτή η συντόμευση δεν εφαρμόζεται αυτόματα.

Πώς να διαλέγεις γρήγορα τον σωστό τύπο

Αν γνωρίζεις βάση και κάθετο ύψος, χρησιμοποίησε $A = \frac{1}{2}bh$.

Αν γνωρίζεις δύο πλευρές και τη γωνία ανάμεσά τους, χρησιμοποίησε $A = \frac{1}{2}ab\sin C$.

Αν γνωρίζεις και τις τρεις πλευρές, χρησιμοποίησε τον τύπο του Heron.

Αν γνωρίζεις τις συντεταγμένες, χρησιμοποίησε τον τύπο με συντεταγμένες.

Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, υπάρχει διαθέσιμη η ειδική συντόμευση.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με ένα τρίγωνο που έχει πλευρές $5$, $12$ και $13$. Πρώτα παρατήρησε τι είδους τρίγωνο είναι και μετά βρες το εμβαδόν με τον πιο γρήγορο τρόπο. Έπειτα, λύσε το ξανά με τον τύπο του Heron και έλεγξε ότι και οι δύο απαντήσεις συμφωνούν.