Üçgenin Alanı — Tüm Formüller ve Örnekler

Bir üçgenin alanını bulmak için, elinizdeki bilgilere uyan formülü kullanın. Soruda taban $b$ ve ona ait dik yükseklik $h$ veriliyorsa, temel formül şudur:

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Yükseklik verilmemiş olsa bile alan yine bulunabilir. Bunu iki kenar ve aralarındaki açıdan, üç kenarın uzunluğundan ya da koordinatlardan hesaplayabilirsiniz. Önemli olan, koşulu gerçekten üçgene uyan formülü seçmektir.

Üçgen alanı formülünde neden $\frac{1}{2}$ vardır?

Tabanı $b$ ve yüksekliği $h$ olan bir üçgen, aynı taban ve yükseklik üzerine kurulan bir dikdörtgenin veya paralelkenarın alanının yarısına sahiptir. Bu yüzden formülde $\frac{1}{2}$ çarpanı bulunur.

Burada koşul önemlidir: $h$, seçtiğiniz tabana dik olmalıdır. Eğik bir kenar, tabanla dik açı yapmadıkça yükseklik değildir.

Üçgen alanı formülleri ve hangisinin ne zaman kullanılacağı

Taban ve dik yükseklik

Bir taban ve ona karşılık gelen yükseklik biliniyorsa bu formül kullanılır.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Bu en doğrudan formüldür ve genellikle en hızlı yöntemdir.

İki kenar ve aralarındaki açı

$a$ ve $b$ kenarları ile bu iki kenarın arasındaki $C$ açısı biliniyorsa bu formül kullanılır.

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

Bu formül çalışır çünkü $b$ kenarına göre yükseklik $a\sin C$ olur.

Heron formülü

$a$, $b$ ve $c$ olmak üzere üç kenarın tamamı biliniyor ama yükseklik bilinmiyorsa bu formül kullanılır.

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Burada $s$, yarı çevredir. Kenar uzunlukları biliniyor ama açı ya da yükseklik verilmiyorsa bu formül kullanışlıdır.

Koordinat formülü

Üçgen, koordinat düzleminde $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ ve $(x_3,y_3)$ noktalarıyla veriliyorsa bu formül kullanılır.

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

Mutlak değer önemlidir çünkü alan negatif olamaz.

Eşkenar üçgen formülü

Bu formül yalnızca üç kenarın da eşit olduğu ve her bir kenarın uzunluğunun $a$ olduğu durumda kullanılır.

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

Bu özel bir durumdur; genel bir üçgen alanı formülü değildir.

Çözümlü örnek: $3$-$4$-$5$ üçgeninin alanı

Bir üçgenin kenar uzunluklarının $3$, $4$ ve $5$ olduğunu düşünelim. $3^2 + 4^2 = 5^2$ olduğundan bu bir dik üçgendir; yani uzunlukları $3$ ve $4$ olan kenarlar birbirine diktir. Bu yüzden taban ve yükseklik olarak kullanılması en kolay kenarlar bunlardır.

$b = 4$ ve $h = 3$ alalım.

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

Buna göre alan $6$ birimkaredir.

Kontrol etmek isterseniz, Heron formülü de aynı sonucu verir:

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

Buradaki ders, her seferinde bütün formülleri kullanmanız gerektiği değildir. Asıl nokta, koşulları sağlandığında farklı formüllerin aynı alanı vermesidir.

Üçgen alanında sık yapılan hatalar

En yaygın hata, seçilen tabana dik olup olmadığını kontrol etmeden bir kenar uzunluğunu yükseklik gibi kullanmaktır.

Bir başka hata da $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ formülünü, $a$ ve $b$ kenarlarının arasında olmayan bir açıyla kullanmaktır. Bu formülde açı, aradaki açı olmalıdır.

Heron formülünde öğrenciler sık sık önce yarı çevreyi hesaplamayı unutur ya da $s$ ile tam çevreyi karıştırır. Ayrıca her şey karekök içinde olduğu için küçük işlem hataları da sonucu etkiler.

Koordinat sorularında mutlak değeri unutmak negatif bir sayı verebilir; oysa alan negatif olamaz.

Hangi üçgen alanı formülü ne zaman kullanışlıdır?

$A = \frac{1}{2}bh$ formülünü temel geometri sorularında, inşaat çizimlerinde ve yüksekliğin kolayca görüldüğü ya da hesaplandığı durumlarda kullanın.

$A = \frac{1}{2}ab\sin C$ formülünü trigonometri ve iki kenar ile bir açının bilindiği ölçme tarzı sorularda kullanın.

Heron formülünü, üç kenarın tamamı biliniyorsa ve yüksekliği kullanmak uğraştırıcı olacaksa tercih edin.

Koordinat formülünü analitik geometride, grafik sorularında ve üçgenin kenar-yükseklik verileriyle değil köşeleriyle tanımlandığı durumlarda kullanın.

Eşkenar üçgen formülünü yalnızca üçgen eşkenarsa kullanın. Üçgen sadece ikizkenarsa bu kısa yol kendiliğinden geçerli olmaz.

Doğru formül hızlıca nasıl seçilir?

Taban ve dik yükseklik biliniyorsa $A = \frac{1}{2}bh$ kullanın.

İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ kullanın.

Üç kenarın tamamı biliniyorsa Heron formülünü kullanın.

Koordinatlar biliniyorsa koordinat formülünü kullanın.

Üçgen eşkenarsa özel kısa yol kullanılabilir.

Benzer bir soru deneyin

Kenarları $5$, $12$ ve $13$ olan bir üçgenle kendi örneğinizi deneyin. Önce bunun nasıl bir üçgen olduğunu fark edin, sonra alanı en hızlı yoldan bulun. Ardından Heron formülüyle tekrar çözün ve iki cevabın aynı çıktığını kontrol edin.