三角形の面積 — すべての公式と例題

三角形の面積を求めるには、与えられた情報に合った公式を使います。問題で底辺 $b$ と、それに垂直な高さ $h$ が与えられているなら、基本公式は次のとおりです。

$$A = \frac{1}{2}bh$$

高さが与えられていなくても、2辺とその間の角、3辺の長さ、または座標から同じ面積を求めることができます。大切なのは、その三角形の条件に本当に合う公式を選ぶことです。

三角形の公式に $\frac{1}{2}$ が付く理由

底辺 $b$、高さ $h$ の三角形の面積は、同じ底辺と高さをもつ長方形や平行四辺形の半分です。だから $\frac{1}{2}$ という係数が現れます。

ここで条件が重要です。$h$ は、選んだ底辺に垂直でなければなりません。斜めの辺は、底辺と直角に交わっていない限り高さではありません。

三角形の面積の公式と、それぞれを使う場面

底辺と垂直な高さ

底辺と、それに対応する高さがわかっているときに使います。

$$A = \frac{1}{2}bh$$

これは最も直接的な公式で、たいてい最も速く解けます。

2辺とその間の角

辺 $a$、辺 $b$、そしてその間の角 $C$ がわかっているときに使います。

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

これは、辺 $b$ に対する高さが $a\sin C$ になるためです。

ヘロンの公式

3辺 $a$、$b$、$c$ はわかっているが、高さはわからないときに使います。

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

ここで、$s$ は半周長です。辺の長さはわかっていても、角や高さが与えられていないときに便利な公式です。

座標による公式

座標平面上の3点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$ で三角形が与えられているときに使います。

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

面積は負にならないので、絶対値が重要です。

正三角形の公式

3辺がすべて等しく、各辺の長さが $a$ のときにだけ使います。

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

これは特別な場合の公式であり、一般の三角形すべてに使える公式ではありません。

例題：$3$-$4$-$5$ の三角形の面積

三角形の辺の長さが $3$、$4$、$5$ だとします。$3^2 + 4^2 = 5^2$ なので、これは直角三角形です。したがって、長さ $3$ と $4$ の辺は垂直です。つまり、この2つを底辺と高さとして使うのが最も簡単です。

$b = 4$、$h = 3$ とします。

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

したがって、面積は $6$ 平方単位です。

確認したいなら、ヘロンの公式でも同じ結果になります。

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

ここで大事なのは、毎回すべての公式を使うべきだということではありません。条件を満たしていれば、異なる公式でも同じ面積が求まるということです。

三角形の面積でよくある間違い

最もよくある間違いは、選んだ底辺に垂直かどうかを確認せずに、辺の長さをそのまま高さとして使ってしまうことです。

もう1つの間違いは、$A = \frac{1}{2}ab\sin C$ において、辺 $a$ と $b$ の間ではない角を使ってしまうことです。この公式では、角は必ずその間の角でなければなりません。

ヘロンの公式では、半周長を先に計算し忘れたり、$s$ と周長全体を取り違えたりすることがよくあります。また、すべてが平方根の中に入るので、小さな計算ミスも結果に影響します。

座標の問題では、絶対値を付け忘れると負の数になることがありますが、面積が負になることはありません。

それぞれの三角形の面積公式が役立つ場面

$A = \frac{1}{2}bh$ は、基本的な図形問題、作図のスケッチ、高さが見つけやすい問題や計算しやすい問題で使います。

$A = \frac{1}{2}ab\sin C$ は、三角比の問題や、2辺と1つの角がわかっている測量タイプの問題で使います。

ヘロンの公式は、3辺の長さがすべてわかっていて、高さを導入するとかえって面倒なときに使います。

座標の公式は、解析幾何、グラフの問題、辺と高さではなく頂点で三角形が定義されている場合に使います。

正三角形の公式は、その三角形が正三角形のときにだけ使います。単に二等辺三角形というだけでは、この近道は自動的には使えません。

正しい公式をすばやく選ぶ方法

底辺と垂直な高さがわかっているなら、$A = \frac{1}{2}bh$ を使います。

2辺とその間の角がわかっているなら、$A = \frac{1}{2}ab\sin C$ を使います。

3辺すべてがわかっているなら、ヘロンの公式を使います。

座標がわかっているなら、座標の公式を使います。

正三角形なら、特別な近道の公式が使えます。

似た問題に挑戦してみよう

辺の長さが $5$、$12$、$13$ の三角形で、自分でも解いてみましょう。まずどんな種類の三角形かに注目し、そのあと最も速い方法で面積を求めます。次に、ヘロンの公式でもう一度解いて、2つの答えが一致することを確かめてください。