三角形面积——所有公式与例题

要求三角形的面积，要使用与已知信息相匹配的公式。如果题目给出了底边 $b$ 和垂直高 $h$，最基本的公式是

$$A = \frac{1}{2}bh$$

如果没有给出高，仍然可以通过两边及其夹角、三边边长，或者坐标来求出同一个面积。关键是选择真正符合这个三角形条件的公式。

为什么三角形面积公式里有 $\frac{1}{2}$

一个底为 $b$、高为 $h$ 的三角形，面积正好是同底同高的长方形或平行四边形面积的一半。这就是为什么公式中会出现 $\frac{1}{2}$。

这里的条件很重要：$h$ 必须与所选底边垂直。斜边本身不能算高，除非它与底边成直角。

三角形面积公式及其适用情况

底边和垂直高

当已知一条底边及其对应的高时，使用这个公式。

$$A = \frac{1}{2}bh$$

这是最直接的公式，通常也是最快的方法。

两边及其夹角

当已知边 $a$、边 $b$，以及它们之间的夹角 $C$ 时，使用这个公式。

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

这是因为相对于边 $b$ 的高等于 $a\sin C$。

海伦公式

当已知三条边 $a$、$b$、$c$，但不知道高时，使用这个公式。

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

这里的 $s$ 是半周长。当已知边长，但没有给出角或高时，这个公式很有用。

坐标公式

当三角形由坐标平面上的点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 和 $(x_3,y_3)$ 给出时，使用这个公式。

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

绝对值很重要，因为面积不应该是负数。

等边三角形公式

只有当三条边都相等，且每条边长为 $a$ 时，才能使用这个公式。

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

这是一个特殊情况，不是一般三角形都能用的公式。

例题：边长为 $3$-$4$-$5$ 的三角形面积

假设一个三角形的三边长分别是 $3$、$4$ 和 $5$。因为 $3^2 + 4^2 = 5^2$，所以它是直角三角形，边长为 $3$ 和 $4$ 的两边互相垂直。因此，把它们作为底和高最方便。

设 $b = 4$，$h = 3$。

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

所以面积是 $6$ 平方单位。

如果你想验算一下，海伦公式也会得到同样的结果：

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

这里的重点不是每次都要把所有公式都用一遍，而是要明白：只要条件满足，不同公式算出的面积是一样的。

三角形面积常见错误

最常见的错误，是没有检查是否垂直，就直接把一条边长当作高来使用。

另一个错误，是在使用 $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ 时，所取的角并不是边 $a$ 和边 $b$ 之间的夹角。在这个公式里，角必须是夹角。

在海伦公式中，学生常常会忘记先求半周长，或者把 $s$ 和周长混淆。由于整个表达式都在平方根里面，细小的计算错误也会影响结果。

对于坐标题，如果忘记取绝对值，就可能得到负数，而面积不可能是负的。

各种三角形面积公式分别适合什么情况

在基础几何、施工草图，或者高很容易看出或算出的题目中，使用 $A = \frac{1}{2}bh$。

在三角函数题和测量类问题中，如果已知两边和一个夹角，使用 $A = \frac{1}{2}ab\sin C$。

当已知三条边，而引入高反而麻烦时，使用海伦公式。

在解析几何、图像题，或者三角形由顶点坐标定义而不是由底和高给出时，使用坐标公式。

等边三角形公式只适用于等边三角形。如果只是等腰三角形，这个捷径并不能直接使用。

如何快速选择正确的公式

如果已知底边和垂直高，使用 $A = \frac{1}{2}bh$。

如果已知两边和它们的夹角，使用 $A = \frac{1}{2}ab\sin C$。

如果已知三条边，使用海伦公式。

如果已知坐标，使用坐标公式。

如果三角形是等边三角形，就可以使用这个特殊的简便公式。

试试类似的题目

你可以自己试做一个三边分别为 $5$、$12$ 和 $13$ 的三角形。先判断它是什么类型的三角形，再用最快的方法求面积。然后再用海伦公式做一遍，检查两次答案是否一致。