錯角

錯角とは、2本の直線の間にあり、1本の横切る直線の反対側にある角のことです。2本の直線が平行であれば、それぞれの錯角の組の大きさは等しくなります。

この条件は重要です。直線が平行でない場合、それらの角が等しいとは言えません。

錯角の見つけ方

横切る直線とは、ほかの2本の直線を横切る1本の直線のことです。内角は、その2本の直線の間の空間にある角です。

その内角の中で、錯角の組は横切る直線の反対側にあります。標準的な図では、上の交点の内側左の角と、下の交点の内側右の角が1組になります。

迷ったときは、次の2点を順番に確認してください。

1. 2つの角がどちらも2本の直線の内側にあること。
2. その角が横切る直線の反対側にあること。

錯角が等しくなるとき

2本の平行線が1本の横切る直線で切られると、錯角は合同になります。

直線 $l$ と $m$ が平行で、角 $a$ と $b$ が錯角の組なら、

$$a = b$$

となります。

これは、生徒が図形の問題でよく使う基本ルールです。平行であることが条件として与えられているか、すでに証明されている場合にだけ使えます。

例題

2本の平行線が1本の横切る直線で切られているとします。ある錯角が $x + 12$ 度で、その相手の角が $68^\circ$ です。$x$ を求めましょう。

直線は平行なので、2つの角は等しくなります。等式を立てて解きます。

$$x + 12 = 68$$ $$x = 56$$

したがって、未知の角の大きさは $68^\circ$、文字の値は $56$ です。基本の流れは、まず関係を見つけてから式を立てることです。

錯角と同位角の違い

錯角と同位角は、どちらも平行線を1本の横切る直線が切るときに現れ、その場合はどちらも等しくなるので、混同されやすいです。

違いは位置にあります。錯角は2本の直線の内側にあり、横切る直線の反対側にあります。同位角は、2つの交点で対応する同じ位置の角です。

最初に「内側か外側か」を確認し、その次に「同じ側か反対側か」を確認すると、たいてい区別できます。

よくある間違い

最も多い間違いは、平行線という条件を飛ばしてしまうことです。図が平行に見えても、問題文で平行だと書かれているか、自分で証明していない限り、角が等しいとは使えません。

もう1つの間違いは、2本の直線の外側にある角を選んでしまうことです。どちらか一方でも2本の直線の外側にあるなら、それは錯角ではありません。

また、逆の定理もあります。1本の横切る直線が2本の直線を切り、1組の錯角が合同なら、その2本の直線は平行です。

図形でどこに使うか

錯角は、角度を追う証明、平行な補助線を使った三角形の図、そして2本の直線が平行であることを示す問題でよく出てきます。

考え方自体はシンプルですが、複雑な図の中から等しい角を整理して追いやすくしてくれます。

似た問題に挑戦

2本の平行線と1本の横切る直線をかいてみましょう。1つの内角を $115^\circ$ とします。その錯角を求め、次にその隣にある同側内角を求めてください。

もう少し進めたいなら、$x + 20$ のような文字を使った自分の問題を作り、$115$ と等しいとしてから解いてみましょう。