เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก — ความชันและตัวอย่าง

เส้นขนานจะไม่มีวันตัดกัน และเส้นตั้งฉากจะตัดกันเป็นมุมฉาก ในเรขาคณิตพิกัด ความชันเป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการบอกว่าเส้นตรงสองเส้นมีความสัมพันธ์แบบใด

สำหรับเส้นตรงสองเส้นที่ไม่เป็นเส้นตั้งฉากกับแกน $y$ กฎนั้นง่ายมาก: ถ้าความชันเท่ากัน แปลว่าเส้นขนานกัน และถ้าความชันเป็นจำนวนผกผันลบต่อกัน แปลว่าเส้นตั้งฉากกัน ถ้าเส้นหนึ่งเป็นเส้นดิ่งและอีกเส้นเป็นเส้นนอน ทั้งสองเส้นก็ตั้งฉากกันเช่นกัน

วิธีดูว่าเส้นตรงขนานกันหรือไม่

เส้นขนานมีทิศทางเดียวกันและอยู่ห่างกันเท่าเดิมบนระนาบ เมื่อดูบนกราฟ จะเห็นว่าเอียงเท่ากัน

ถ้าเส้นตรงสองเส้นที่ไม่เป็นเส้นดิ่งและเป็นคนละเส้นมีความชัน $m_1$ และ $m_2$ จะขนานกันเมื่อ

$$m_1 = m_2$$

คำว่าเป็นคนละเส้นสำคัญมาก ถ้าทั้งความชันและจุดตัดแกนตรงกัน สมการทั้งสองอาจอธิบายเส้นตรงเส้นเดียวกันที่เขียนคนละรูปแบบ

วิธีดูว่าเส้นตรงตั้งฉากกันหรือไม่

เส้นตั้งฉากจะตัดกันเป็นมุม $90^\circ$ เมื่อความชันของทั้งสองเส้นนิยามได้ เงื่อนไขคือ

$$m_1 m_2 = -1$$

ซึ่งมีความหมายเดียวกับการบอกว่าความชันเป็นจำนวนผกผันลบต่อกัน

ตัวอย่างเช่น ถ้าความชันหนึ่งคือ $2$ ความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับมันคือ $-\frac{1}{2}$ ถ้าความชันหนึ่งคือ $-\frac{3}{4}$ ความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับมันคือ $\frac{4}{3}$

กฎนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อความชันทั้งสองมีค่าเป็นตัวเลขเท่านั้น เส้นดิ่งมีความชันไม่กำหนด ดังนั้นเส้นที่ตั้งฉากกับมันจึงเป็นเส้นนอนที่มีความชัน $0$

ตัวอย่างทำโจทย์: จำแนกเส้นตรงสองเส้นจากสมการ

ตัดสินว่าเส้นตรงต่อไปนี้ขนานกัน ตั้งฉากกัน หรือไม่ใช่ทั้งสองแบบ:

$$2x - y = 3$$ $$x + 2y = 8$$

ขั้นแรก เขียนสมการแต่ละเส้นใหม่ให้อ่านค่าความชันได้ง่าย

จาก $2x - y = 3$ แก้สมการหา $y$:

$$y = 2x - 3$$

ดังนั้นความชันของเส้นแรกคือ $2$

จาก $x + 2y = 8$ แก้สมการหา $y$:

$$2y = -x + 8$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 4$$

ดังนั้นความชันของเส้นที่สองคือ $-\frac{1}{2}$

ตอนนี้เปรียบเทียบความชัน จำนวนผกผันลบของ $2$ คือ $-\frac{1}{2}$ ดังนั้นเส้นตรงทั้งสองตั้งฉากกัน คุณสามารถตรวจสอบด้วยกฎผลคูณได้ว่า

$$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$

สิ่งนี้บอกข้อมูลเชิงเรขาคณิตได้ทันทีว่า เมื่อเส้นทั้งสองตัดกัน จะเกิดมุมฉาก

วิธีเช็กอย่างรวดเร็วสำหรับเส้นตรงทุกคู่

เมื่อโจทย์ให้สมการมาสองสมการ ให้ใช้ลำดับนี้:

1. เขียนสมการของแต่ละเส้นใหม่ให้อ่านค่าความชันได้ง่าย
2. เปรียบเทียบความชัน
3. ถ้าความชันเท่ากัน ให้ตรวจสอบก่อนว่าเป็นคนละเส้นจริงหรือไม่ แล้วจึงสรุปว่าเส้นขนาน
4. ถ้าความชันเป็นจำนวนผกผันลบต่อกัน ให้สรุปว่าเส้นตั้งฉาก
5. ถ้าไม่เข้าเงื่อนไขใดเลย แปลว่าเส้นตรงคู่นั้นไม่ขนานและไม่ตั้งฉาก

วิธีนี้ช่วยไม่ให้สับสนระหว่างความชันเท่ากัน ความชันตรงข้ามกัน และความชันที่เป็นจำนวนผกผันลบต่อกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับความชัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือการบอกว่าเส้นตั้งฉากมีความชันเป็นจำนวนตรงข้ามกัน ซึ่งยังไม่พอ ความชัน $2$ และ $-2$ เป็นจำนวนตรงข้ามกันก็จริง แต่ไม่ใช่จำนวนผกผันลบต่อกัน ดังนั้นเส้นเหล่านั้นจึงไม่ตั้งฉากกัน

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือการลืมกรณีพิเศษของเส้นดิ่งและเส้นนอน เส้นดิ่งมีความชันไม่กำหนด ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถทดสอบด้วยการคูณความชันให้ได้ $-1$ ได้

นักเรียนบางคนยังสรุปว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกันเพียงเพราะความชันเท่ากัน แต่ถ้าจุดตัดแกนก็ตรงกันด้วย สมการทั้งสองกำลังอธิบายเส้นตรงเส้นเดียวกัน ไม่ใช่เส้นขนานสองเส้นที่แยกจากกัน

การใช้งานของเส้นขนานและเส้นตั้งฉาก

เส้นขนานและเส้นตั้งฉากพบได้ในเรื่องการเขียนกราฟ เรขาคณิตวิเคราะห์ การพิสูจน์ในระบบพิกัด และโจทย์สมการเส้นตรง นอกจากนี้ยังมีประโยชน์ในงานออกแบบและวิศวกรรมที่ทิศทางและมุมฉากมีความสำคัญ

ประเด็นสำคัญในทางปฏิบัติคือ ความชันช่วยเปลี่ยนแนวคิดที่มองเห็นได้ให้กลายเป็นการทดสอบเชิงตัวเลขที่รวดเร็ว

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองกับเส้นตรง $y = -3x + 2$ และ $y = -3x - 5$ อ่านค่าความชันก่อน แล้วตัดสินว่าเส้นตรงทั้งสองขนานกัน ตั้งฉากกัน หรือไม่ใช่ทั้งสองแบบ จากนั้นค่อยตรวจสอบว่าจุดตัดแกนทำให้คำตอบเปลี่ยนหรือไม่

ถ้าต้องการลองอีกกรณีหนึ่งต่อจากนั้น ให้ดู Slope Formula แล้วลองจำแนกเส้นตรงหนึ่งคู่จากจุดสองจุดแทนการใช้สมการ