Angles alternes-internes

Les angles alternes-internes sont des angles situés entre deux droites et de part et d’autre d’une sécante. Si les deux droites sont parallèles, chaque paire d’angles alternes-internes a la même mesure.

Cette condition est importante. Si les droites ne sont pas parallèles, vous ne pouvez pas supposer que ces angles sont égaux.

Comment identifier des angles alternes-internes

Une sécante est une droite qui coupe deux autres droites. Les angles intérieurs sont ceux qui se trouvent dans la région comprise entre ces deux droites.

Parmi ces angles intérieurs, une paire d’angles alternes-internes se trouve de part et d’autre de la sécante. Dans un schéma classique, une paire est formée par l’angle intérieur de gauche à l’intersection du haut et l’angle intérieur de droite à l’intersection du bas.

Si vous hésitez, vérifiez ces deux points dans l’ordre :

1. Les deux angles doivent être à l’intérieur des deux droites.
2. Les angles doivent être de part et d’autre de la sécante.

Quand les angles alternes-internes sont égaux

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux.

Si les droites $l$ et $m$ sont parallèles et que les angles $a$ et $b$ forment une paire d’angles alternes-internes, alors

$$a = b$$

C’est la règle dont les élèves ont le plus souvent besoin dans les exercices de géométrie. Elle ne s’applique que si le parallélisme est donné ou a déjà été démontré.

Exemple résolu

Supposons que deux droites parallèles soient coupées par une sécante. Un angle alterne-interne mesure $x + 12$ degrés, et son angle associé mesure $68^\circ$. Trouvez $x$.

Comme les droites sont parallèles, les angles sont égaux. On les pose égaux puis on résout :

$$x + 12 = 68$$ $$x = 56$$

Donc la mesure de l’angle inconnu est $68^\circ$, et la valeur de la variable est $56$. La méthode habituelle est la suivante : identifier d’abord la relation, puis écrire l’équation.

Angles alternes-internes vs angles correspondants

Les élèves confondent souvent les angles alternes-internes et les angles correspondants, car ils apparaissent tous les deux lorsqu’une sécante coupe des droites parallèles, et ils sont égaux dans ce cas.

La différence tient à leur position. Les angles alternes-internes sont entre les deux droites et de part et d’autre de la sécante. Les angles correspondants occupent des positions de coin identiques aux deux intersections.

Si vous vous demandez d’abord « à l’intérieur ou à l’extérieur ? », puis « du même côté ou de côtés opposés ? », le bon nom devient généralement clair.

Erreurs fréquentes

L’erreur la plus fréquente consiste à oublier la condition de parallélisme. Un schéma peut sembler montrer des droites parallèles, mais vous ne devez pas utiliser l’égalité sauf si l’énoncé dit que les droites sont parallèles ou si vous l’avez démontré.

Une autre erreur consiste à choisir un angle situé à l’extérieur des deux droites. Si l’un des angles est à l’extérieur de la paire de droites, ce n’est pas un angle alterne-interne.

Il existe aussi une réciproque : si une sécante coupe deux droites et qu’une paire d’angles alternes-internes est égale, alors les deux droites sont parallèles.

Où on utilise cela en géométrie

Les angles alternes-internes apparaissent dans les démonstrations de chasse aux angles, dans les figures de triangles avec des droites parallèles auxiliaires, et dans les problèmes où il faut justifier que deux droites sont parallèles.

L’idée est simple, mais elle aide à transformer une figure chargée en un ensemble plus petit d’angles égaux que vous pouvez suivre.

Essayez un exercice similaire

Tracez deux droites parallèles et une sécante. Marquez un angle intérieur de $115^\circ$. Trouvez son angle alterne-interne, puis trouvez l’angle intérieur du même côté qui lui est adjacent.

Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez votre propre version avec une variable comme $x + 20$ et posez-la égale à $115$ avant de résoudre.