Fórmulas de volume para sólidos geométricos comuns

Aqui estão as principais fórmulas de volume para sólidos geométricos comuns: prismas e cilindros usam área da base vezes altura, pirâmides e cones usam um terço desse padrão, e esferas usam uma fórmula baseada no raio. Quando você percebe essa estrutura, as fórmulas ficam mais fáceis de entender e memorizar.

Fórmulas de volume para sólidos geométricos comuns

Sólido	Fórmula do volume	O que saber
Prisma retangular	$V = lwh$	Comprimento, largura e altura
Cubo	$V = s^3$	Todas as arestas têm o mesmo comprimento
Qualquer prisma	$V = Bh$	$B$ é a área da base
Cilindro	$V = \pi r^2 h$	Igual a $Bh$ porque a base é um círculo
Qualquer pirâmide	$V = \frac\{1\}\{3\}Bh$	Um terço de um prisma com a mesma base e altura
Cone	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$	Um terço de um cilindro com a mesma base e altura
Esfera	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$	Usa o raio, não a altura

Para pirâmides e cones, $h$ significa a altura perpendicular. Se um problema der a geratriz em vez disso, esse valor não entra diretamente na fórmula do volume.

Por que a maioria das fórmulas de volume segue o mesmo padrão

A ideia mais simples é esta:

$$V = Bh$$

Aqui, $B$ significa a área da base, e $h$ é a altura medida perpendicularmente a partir dessa base.

Esse único padrão explica várias fórmulas ao mesmo tempo. Um prisma retangular usa uma base retangular, então $B = lw$ e a fórmula se torna $V = lwh$. Um cilindro usa uma base circular, então $B = \pi r^2$ e a fórmula se torna $V = \pi r^2 h$.

Pirâmides e cones usam a mesma ideia de base e altura, mas com apenas um terço do volume do prisma ou cilindro correspondente:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

A esfera é o principal sólido comum que não segue o padrão base vezes altura, por isso vale a pena memorizar sua fórmula separadamente.

Exemplo resolvido: encontrando o volume de um cone

Encontre o volume de um cone com raio $3$ cm e altura $8$ cm.

Use a fórmula do cone:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Substitua os valores:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Simplifique:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = \frac{72}{3}\pi = 24\pi$$

Então, o volume é $24\pi\ \text{cm}^3$, que é aproximadamente $75.4\ \text{cm}^3$.

Este exemplo é útil porque o cilindro correspondente, com o mesmo raio e a mesma altura, teria volume $72\pi\ \text{cm}^3$. O cone é exatamente um terço disso, o que serve como uma boa verificação embutida.

Erros comuns com fórmulas de volume

1. Usar diâmetro quando a fórmula pede raio. Se for dado $d$, primeiro converta com $r = \frac{d}{2}$.
2. Usar a geratriz de um cone ou pirâmide. O volume usa a altura perpendicular.
3. Confundir área da superfície com volume. O volume responde quanto espaço há dentro, não quanto revestimento há por fora.
4. Esquecer as unidades cúbicas. O volume deve ser escrito em unidades como $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ ou $\text{in}^3$.
5. Tratar $B$ como comprimento de um lado em vez de área da base. Em $V = Bh$, $B$ já é uma área.

Quando usar fórmulas de volume

As fórmulas de volume são usadas quando você precisa da capacidade ou do tamanho interno de um objeto tridimensional. Em sala de aula, isso normalmente aparece em problemas de geometria. Fora da escola, a mesma ideia aparece ao estimar quanto uma caixa pode comportar, quanto líquido cabe em um tanque ou quanto material preenche um recipiente.

A condição importa: a fórmula só é tão precisa quanto o modelo da forma. Se um objeto real for apenas aproximadamente cilíndrico ou esférico, o resultado também será uma aproximação.

Tente sua própria versão

Escolha um cilindro com raio $4$ unidades e altura $10$ unidades, depois encontre o volume. Em seguida, mantenha a mesma base e a mesma altura, mas troque para um cone. Ver essas duas respostas lado a lado é uma das maneiras mais rápidas de fixar as fórmulas.