Volume de uma Pirâmide — Fórmula e Exemplos

Para encontrar o volume de uma pirâmide, use $V = \frac{1}{3}Bh$, em que $B$ é a área da base e $h$ é a altura perpendicular. Isso funciona para pirâmides de base quadrada, retangular e triangular porque a fórmula depende da área da base, não do formato da base.

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

Se você já conhece a área da base, o problema geralmente é rápido: multiplique pela altura perpendicular e depois divida por $3$.

O que significa a fórmula do volume da pirâmide

O fator $B$ representa a área total da base, não apenas a medida de um lado. Isso é importante porque as pirâmides podem ter diferentes formatos de base, como bases quadradas, retangulares ou triangulares.

O fator $h$ é a altura reta da base até o vértice. Ela deve ser perpendicular à base. Se um problema fornecer a altura inclinada, isso por si só não basta, a menos que você primeiro a converta em altura perpendicular.

O fator $\frac{1}{3}$ indica que uma pirâmide tem um terço do volume de um prisma com a mesma área da base e a mesma altura perpendicular.

Por que aparece um terço

Um prisma com a mesma área da base $B$ e altura $h$ tem volume

$$V_{\text{prism}} = Bh$$

Uma pirâmide afunila até um ponto, então ocupa menos espaço do que esse prisma. Para a mesma área da base e altura perpendicular, ela ocupa exatamente um terço disso:

$$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3}Bh$$

Essa comparação costuma ser a maneira mais fácil de lembrar a fórmula.

Exemplo resolvido: volume de uma pirâmide de base quadrada

Suponha que uma pirâmide de base quadrada tenha lado da base igual a $6$ cm e altura perpendicular igual a $10$ cm.

Primeiro, encontre a área da base:

$$B = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$$

Depois, substitua na fórmula:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$ $$V = \frac{1}{3}(36)(10)$$

Agora simplifique:

$$V = \frac{360}{3} = 120$$

Portanto, o volume é $120 \text{ cm}^3$.

As unidades são centímetros cúbicos porque o volume mede espaço tridimensional.

Fórmulas da pirâmide de base quadrada e da pirâmide de base retangular

A fórmula principal continua a mesma. O que muda é como você calcula a área da base.

Para uma pirâmide de base quadrada com lado da base $s$,

$$B = s^2$$

então

$$V = \frac{1}{3}s^2 h$$

Para uma pirâmide de base retangular com comprimento da base $l$ e largura $w$,

$$B = lw$$

então

$$V = \frac{1}{3}lwh$$

Ambas são apenas casos particulares de $V = \frac{1}{3}Bh$.

Erros comuns ao encontrar o volume de uma pirâmide

1. Usar a medida de um lado em vez da área total da base. A fórmula precisa de $B$, não apenas de uma medida da base.
2. Usar a altura inclinada em vez da altura perpendicular. O volume depende da altura reta até a base.
3. Esquecer o $\frac{1}{3}$. Sem ele, você está calculando o volume do prisma correspondente.
4. Escrever unidades quadradas em vez de unidades cúbicas. A área da base usa unidades quadradas, mas o volume usa unidades cúbicas.
5. Usar um atalho como $V = \frac{1}{3}s^2 h$ quando a base não é realmente um quadrado.

Quando essa fórmula é usada

Essa fórmula aparece em geometria, cálculo de medidas, estimativas de construção e em qualquer situação em que um sólido possa ser modelado como uma pirâmide ou quase pirâmide.

Se o objeto for apenas aproximadamente piramidal, o resultado também será uma estimativa. Ainda assim, a fórmula é útil quando você precisa de um volume prático rapidamente.

Verificação rápida antes de terminar

Se um prisma com a mesma área da base e altura teria volume $Bh$, então a pirâmide deve ter volume $Bh/3$.

Portanto, se sua resposta sair igual a $Bh$, você provavelmente esqueceu o fator $\frac{1}{3}$.

Tente um problema parecido

Tente uma pirâmide de base retangular com base de $8$ cm por $5$ cm e altura perpendicular de $9$ cm. Encontre primeiro a área da base e depois aplique $V = \frac{1}{3}Bh$.

Se você quiser testar seus próprios números e comparar casos rapidamente, resolva um problema semelhante de volume com o GPAI Solver e veja como a resposta muda quando apenas a área da base ou a altura muda.