Área da superfície do cone — fórmula, geratriz e exemplo

Para encontrar a área da superfície de um cone, some a área da base circular com a área da parte curva. Para um cone circular reto com raio $r$ e geratriz $l$, a área total da superfície é

$$A = \pi r^2 + \pi r l$$

Você também pode escrever a mesma fórmula como

$$A = \pi r(r+l)$$

Aqui, $\pi r^2$ é a área da base e $\pi r l$ é a área curva, ou lateral. Se a questão pedir apenas a área lateral, deixe de fora o termo da base.

Área total da superfície vs área lateral

Um cone tem duas partes externas: uma base circular e uma face curva. Área total da superfície significa as duas partes juntas.

Por isso, a fórmula se divide em

$$\text{área total da superfície} = \text{área da base} + \text{área curva}$$ $$A = \pi r^2 + \pi r l$$

Se você precisar apenas da área lateral, use

$$A = \pi r l$$

Essa fórmula vale para um cone circular reto. Em geometria escolar, esse costuma ser o caso padrão, a menos que o problema diga o contrário.

Por que a fórmula usa a geratriz

A fórmula usa a geratriz $l$, e não a altura vertical $h$. A geratriz vai ao longo da lateral do cone, da borda da base até o vértice.

Se o cone for um cone circular reto e você conhecer $r$ e $h$, então poderá encontrar a geratriz pelo triângulo retângulo dentro do cone:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Esse passo é válido porque o raio, a altura vertical e a geratriz formam um triângulo retângulo em um cone reto.

Exemplo resolvido: raio $4$ cm, altura $3$ cm

Suponha que um cone circular reto tenha raio $4$ cm e altura vertical $3$ cm. Como a fórmula da área da superfície precisa da geratriz, encontre $l$ primeiro:

$$l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Agora use a fórmula da área total da superfície:

$$A = \pi r^2 + \pi r l$$

Substitua $r = 4$ e $l = 5$:

$$A = \pi(4^2) + \pi(4)(5)$$ $$A = 16\pi + 20\pi = 36\pi$$

Portanto, a área total exata da superfície é

$$36\pi\ \text{cm}^2$$

Se você precisar de uma aproximação decimal,

$$36\pi \approx 113.1\ \text{cm}^2$$

Este exemplo é uma boa verificação porque a base contribuiu com $16\pi$ e a parte curva contribuiu com $20\pi$. A soma delas é $36\pi$.

Erros comuns em problemas de área da superfície do cone

Usar a altura vertical na fórmula

A expressão $\pi r^2 + \pi r l$ usa a geratriz. Se você colocar $h$ no lugar de $l$, a resposta geralmente estará errada.

Esquecer se a base está incluída

Alguns problemas pedem a área total da superfície, e outros pedem apenas a área curva ou lateral. A área total da superfície inclui a base. A área lateral não inclui.

Confundir raio com diâmetro

Se o diâmetro da base for dado, divida por $2$ antes de usar a fórmula. O símbolo $r$ sempre significa raio.

Omitir as unidades quadradas

A área da superfície mede cobertura, então as unidades finais devem ser unidades quadradas, como $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$ ou $\text{in}^2$.

Quando usar a área da superfície de um cone

Você usa a área da superfície do cone quando se importa com o material que cobre a parte externa de um objeto cônico. Em geometria, isso geralmente aparece em problemas de medida de livros didáticos. Na vida real, pode surgir ao estimar papel, metal, tecido ou revestimento para formas que sejam razoavelmente próximas de cones.

A condição também importa aqui. Se o objeto estiver aberto na base, talvez só a área lateral importe. Se o objeto não puder ser bem modelado por um cone circular reto, a fórmula padrão será apenas uma aproximação ou talvez não se aplique diretamente.

Uma forma rápida de lembrar a fórmula

Pense: base mais lateral.

$$\text{área da superfície do cone} = \pi r^2 + \pi r l$$

O primeiro termo é o círculo da base. O segundo termo é a parte curva que envolve o cone.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com raio $6$ cm e altura vertical $8$ cm. Encontre primeiro a geratriz e depois calcule a área lateral e a área total da superfície. Se quiser mais uma verificação, resolva um problema parecido com o GPAI Solver.