Identidades trigonométricas: lista principal, ideias de demonstração e exemplo

Identidades trigonométricas são fórmulas que envolvem $\sin$, $\cos$, $\tan$ e funções relacionadas, e que são verdadeiras para todo ângulo em que ambos os lados estejam definidos. Se você está procurando as identidades trigonométricas padrão usadas em álgebra, pré-cálculo e cálculo inicial, a lista principal inclui identidades recíprocas, de quociente, pitagóricas, de paridade, de cofatores, de soma e diferença, de ângulo duplo e de meio ângulo.

A forma mais rápida de memorizá-las é agrupá-las por finalidade. Algumas reescrevem uma função trigonométrica em termos de outra, algumas conectam $\sin \theta$ e $\cos \theta$, e outras mudam o ângulo de $\theta$ para $2\theta$ ou $\theta/2$.

O que faz uma equação ser uma identidade trigonométrica?

Uma identidade é verdadeira para todo ângulo em seu domínio. Por exemplo,

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

é uma identidade porque vale para todo $\theta$.

Em contraste,

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

não é uma identidade. Ela é verdadeira apenas para ângulos específicos.

A condição de domínio importa. Por exemplo,

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

é verdadeira apenas quando $\cos \theta \neq 0$.

Lista principal de identidades trigonométricas

Identidades recíprocas

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

Cada fórmula exige que o denominador seja diferente de zero.

Identidades de quociente

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Essas costumam ser o primeiro passo em problemas de simplificação, porque reescrevem tudo em termos de $\sin$ e $\cos$.

Identidades pitagóricas

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

A primeira identidade é a origem das outras duas.

Identidades de paridade

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

O mesmo padrão se estende às funções recíprocas: $\csc$ e $\cot$ são ímpares, enquanto $\sec$ é par.

Identidades de cofatores

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

Elas vêm dos ângulos complementares.

Identidades de soma e diferença

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Nas fórmulas da tangente, o denominador deve ser diferente de zero.

Identidades de ângulo duplo

Faça $\alpha = \beta = \theta$ nas fórmulas de soma de ângulos.

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

A versão da tangente também exige que $1 - \tan^2 \theta \neq 0$.

Identidades de meio ângulo

Elas vêm da reorganização das fórmulas de ângulo duplo.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Para um ângulo escrito como $\theta/2$, as formas com raiz quadrada são

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

O sinal depende do quadrante de $\theta/2$, então o $\pm$ não pode ser ignorado automaticamente.

De onde vêm as principais identidades trigonométricas

O círculo unitário fornece a primeira identidade pitagórica

No círculo unitário, o ponto no ângulo $\theta$ é $(\cos \theta, \sin \theta)$. Como todo ponto desse círculo satisfaz $x^2 + y^2 = 1$, ao substituir $x = \cos \theta$ e $y = \sin \theta$, obtemos

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

Essa é a identidade pitagórica básica.

As outras identidades pitagóricas vêm da divisão

Se $\cos \theta \neq 0$, divida

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

por $\cos^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

Se $\sin \theta \neq 0$, dividir por $\sin^2 \theta$ dá

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

As identidades de ângulo duplo vêm das fórmulas de soma de ângulos

Comece com

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

e faça $\alpha = \beta = \theta$:

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

As identidades de ângulo duplo do cosseno e da tangente são obtidas da mesma forma.

Exemplo resolvido: simplifique uma expressão de ângulo duplo

Simplifique

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

para ângulos em que a expressão original esteja definida.

Use as identidades de ângulo duplo:

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

e

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Agora substitua:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Essa conclusão só é válida quando o denominador original é diferente de zero, então $\sin(2\theta) \neq 0$. Essa condição importa porque cancelar um fator pode esconder valores que já estavam excluídos no início.

Erros comuns com identidades trigonométricas

Ignorar restrições de domínio é o erro que mais causa problemas. Dividir por $\sin \theta$ ou $\cos \theta$ só é válido quando essa quantidade não é zero.

Outro erro comum é ignorar o $\pm$ nas fórmulas de meio ângulo. A raiz quadrada sozinha não determina o sinal do valor trigonométrico.

Os estudantes também confundem $\sin^2 \theta$ com $\sin(\theta^2)$. A notação $\sin^2 \theta$ significa $(\sin \theta)^2$.

Quando as identidades trigonométricas são usadas

As identidades trigonométricas aparecem sempre que você precisa reescrever uma expressão em uma forma mais útil. Isso inclui simplificar exercícios, demonstrar que duas expressões são iguais, resolver equações trigonométricas e se preparar para tópicos de cálculo, como integração.

Na prática, muitos problemas ficam mais fáceis quando tudo é reescrito em termos de $\sin \theta$ e $\cos \theta$.

Tente um problema parecido

Simplifique

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

usando identidades de ângulo duplo e mantendo em vista a condição de domínio da expressão original. Se quiser dar mais um passo depois disso, compare seu resultado com $\tan \theta$.