Funções Trigonométricas Inversas — Fórmulas e Gráficos

As funções trigonométricas inversas devolvem um ângulo a partir de um valor trigonométrico. Na prática, $\arcsin x$, $\arccos x$ e $\arctan x$ devolvem cada uma um único ângulo padrão, chamado valor principal, e não todos os ângulos possíveis.

Essa restrição é essencial. Seno, cosseno e tangente repetem valores em seus gráficos completos, então só têm inversa depois que os limitamos a intervalos em que cada saída vem de exatamente um único ângulo.

O que significam $\arcsin x$, $\arccos x$ e $\arctan x$

Estas definições mostram tanto a relação trigonométrica quanto o intervalo permitido para a saída:

$$\arcsin x = y \quad \text{means} \quad \sin y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{means} \quad \cos y = x \text{ and } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{means} \quad \tan y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Essas condições sobre os intervalos não são um detalhe extra. São elas que fazem a inversa ter valor único.

Domínios e imagens que você realmente precisa

Para as três funções trigonométricas inversas mais usadas pelos estudantes:

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Leia cada linha como entrada primeiro e saída depois. Por exemplo, $\arcsin x$ só aceita $-1 \le x \le 1$ porque o seno nunca produz um valor fora desse intervalo.

Como funcionam os gráficos das inversas trigonométricas

Os gráficos das funções trigonométricas inversas são reflexões em relação à reta $y = x$, mas somente depois que a função trigonométrica original é restringida a um intervalo em que seja injetora.

Por exemplo, $y = \arcsin x$ é o reflexo do gráfico restrito do seno

$$y = \sin x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

em relação à reta $y = x$.

A mesma ideia produz estes pares correspondentes:

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{for} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Não reflita o gráfico completo e periódico do seno, do cosseno ou da tangente. O gráfico completo não passa no teste da reta horizontal, então não pode ter função inversa.

Um exemplo resolvido com imagem principal

Calcule

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Queremos o ângulo $y$ tal que $\cos y = -\frac{1}{2}$. Muitos ângulos funcionam, mas $\arccos x$ deve devolver o ângulo na imagem principal

$$0 \le y \le \pi$$

Dentro desse intervalo, o ângulo correto é $y = \frac{2\pi}{3}$, então

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

Esse é o principal hábito a desenvolver: não procure qualquer ângulo que funcione. Procure o ângulo no intervalo correto.

Erros comuns com funções trigonométricas inversas

O erro mais comum é confundir trigonométrica inversa com trigonométrica recíproca. $\arcsin x$ não é a mesma coisa que $\csc x$, e $\sin^{-1} x$ geralmente significa seno inverso, não $1/\sin x$.

Outro erro comum é ignorar a imagem principal. Por exemplo, $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, mas

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

porque $\frac{\pi}{6}$ é o ângulo que está no intervalo permitido para $\arcsin x$.

Os estudantes também às vezes esquecem o domínio. Expressões como $\arcsin 2$ e $\arccos(-3)$ não têm valor real, porque seno e cosseno não produzem saídas fora de $[-1,1]$.

Quando as funções trigonométricas inversas são usadas

As funções trigonométricas inversas aparecem sempre que você conhece uma razão e precisa recuperar o ângulo. Isso acontece em geometria de triângulos retângulos, navegação, problemas de inclinação e direção, componentes de vetores e modelagem com triângulos.

Elas também são importantes no cálculo. Você as encontra em derivadas, primitivas como $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ e substituições envolvendo expressões trigonométricas.

Uma forma de pensar nelas em 2 passos

Ao calcular uma expressão trigonométrica inversa, faça estas duas verificações:

1. Qual função trigonométrica corresponde ao valor que foi dado?
2. Qual é o ângulo na imagem principal dessa função?

Se você mantiver essas duas verificações juntas, as fórmulas e os gráficos ficam muito mais fáceis de entender.

Tente sua própria versão

Tente calcular $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ e $\arctan(1)$. Se você escolher primeiro a imagem principal, as duas respostas aparecem rapidamente.