Divergência e Rotacional

Divergência e rotacional descrevem duas características locais diferentes de um campo vetorial. A divergência mede se o campo está se espalhando ou se comprimindo perto de um ponto, enquanto o rotacional mede se ele tende a fazer um pequeno objeto girar.

Se você lembrar de apenas um contraste, que seja este: divergência está ligada ao fluxo local para fora, e rotacional está ligado ao giro local.

A divergência mede o fluxo local para fora ou para dentro

Para um campo vetorial 3D

$$\mathbf{F} = (P, Q, R),$$

a divergência é

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.$$

Isso soma a taxa de variação de cada componente na sua própria direção. Se o resultado for positivo em um ponto, o campo está agindo localmente mais como um fluxo para fora ali. Se for negativo, o campo está agindo localmente mais como um fluxo para dentro.

Essa interpretação de fluxo é mais útil quando o campo vetorial é diferenciável perto do ponto e realmente representa algo como velocidade.

O rotacional mede a rotação local

Para o mesmo campo 3D, o rotacional é

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$

O rotacional mede a rotação local. Um rotacional não nulo significa que o campo tem tendência a fazer uma pequena roda de pás girar.

Em um campo 2D $\mathbf{F} = (P, Q)$, muitos cursos usam

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$

como "o rotacional". Falando com rigor, isso é a componente em $z$ do rotacional 3D quando o campo está no plano.

Divergência vs. rotacional em um exemplo resolvido

A comparação mais clara é colocar um campo de puro espalhamento ao lado de um campo de pura rotação.

Primeiro, considere

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y).$$

Esse campo aponta para longe da origem, e as setas ficam maiores à medida que você se afasta. Sua divergência é

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} = 1 + 1 = 2.$$

Seu valor de rotacional em 2D é

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0.$$

Então esse campo tem divergência positiva e rotacional nulo. Ele se comporta como um espalhamento local puro, sem giro.

Agora compare com

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x).$$

Esse campo circula ao redor da origem. Sua divergência é

$$\nabla \cdot \mathbf{G} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} = 0 + 0 = 0.$$

Seu valor de rotacional em 2D é

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Então esse campo tem divergência zero, mas rotacional não nulo. Ele se comporta como rotação local sem espalhamento líquido.

Esse é o contraste principal:

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y) \quad \text{se espalha,}$$

enquanto

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x) \quad \text{gira ao redor.}$$

Se um problema perguntar o que cada quantidade detecta, este exemplo já dá a resposta: a divergência percebe o primeiro campo, e o rotacional percebe o segundo.

Erros comuns com divergência e rotacional

1. Tratar divergência e rotacional como o mesmo tipo de medida. Eles respondem a perguntas diferentes.
2. Esquecer que o rotacional em 2D costuma ser apresentado como um atalho escalar, não como o vetor 3D completo.
3. Supor que divergência positiva significa que os vetores são grandes. A divergência depende de como o campo varia, não apenas do comprimento das setas.
4. Supor que divergência zero significa que o campo é nulo. Um campo pode ser não nulo em toda parte e ainda ter divergência zero.
5. Usar a interpretação de fluxo sem verificar o modelo. "Fonte", "sumidouro" e "rotação" são intuições físicas, não fatos automáticos em qualquer contexto.

Onde a divergência e o rotacional são usados

Divergência e rotacional aparecem em cálculo vetorial, escoamento de fluidos e eletromagnetismo porque separam dois comportamentos locais úteis: expansão e rotação.

Em modelos de fluidos, a divergência pode descrever compressão ou expansão local do escoamento, enquanto o rotacional pode descrever giro local. No eletromagnetismo, ambos aparecem nas equações de Maxwell, onde conectam o comportamento do campo à carga, à corrente e a campos variáveis no tempo.

De forma mais ampla, eles ajudam você a interpretar um campo vetorial em vez de apenas desenhar setas.

Uma imagem mental rápida que costuma ajudar

Imagine colocar duas ferramentas minúsculas em um campo:

1. Um pequeno balão testa se o campo tende a expandir ou comprimir ao redor de um ponto. Essa é a ideia de divergência.
2. Uma pequena roda de pás testa se o campo tende a fazê-la girar. Essa é a ideia de rotacional.

Essas são imagens, não definições, mas são úteis quando o campo é suave e representa algo parecido com um fluxo.

Tente um problema parecido

Considere o campo

$$\mathbf{H}(x,y) = (2x,-2y).$$

Calcule sua divergência e seu valor de rotacional em 2D. Depois decida se o campo se comporta mais como espalhamento local, rotação local, ambos ou nenhum dos dois.

Se quiser mais uma verificação, tente $\mathbf{K}(x,y) = (x,-x)$ e veja se a divergência, o rotacional ou ambos mudam.