Integral Dupla

Uma integral dupla soma uma função sobre uma região bidimensional. Se $f(x,y) \ge 0$, ela fornece o volume sob $z=f(x,y)$ acima dessa região. Se $f$ muda de sinal, ela fornece o volume líquido com sinal.

Ela geralmente é escrita como

$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

em que $R$ é a região no plano $xy$ e $dA$ é um pequeno elemento de área. Na prática, a maioria dos primeiros problemas com integrais duplas envolve duas coisas: interpretar a região corretamente e escolher limites que realmente correspondam a ela.

O que significa uma integral dupla

Há três partes para interpretar:

• $f(x,y)$ é a função que está sendo somada.
• $R$ é a região onde você está somando.
• $dA$ significa um pequeno pedaço de área.

Então $\iint_R f(x,y)\,dA$ significa “somar os valores de $f$ sobre todos os pequenos pedaços de área em $R$”. Se $f(x,y)=1$, o resultado é simplesmente a área de $R$. Isso é uma verificação útil, porque mostra que integrais duplas medem acumulação sobre área, não apenas volume sob superfícies curvas.

Por que uma integral dupla muitas vezes vira uma integral iterada

Em muitos problemas de cálculo, você calcula uma integral dupla transformando-a em duas integrais simples. Em um retângulo, e de forma mais geral sob condições padrão como continuidade na região, você pode integrar uma variável de cada vez.

Para um retângulo $R = [a,b] \times [c,d]$,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$$

ou, se for mais simples,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$$

A ordem importa para a montagem e a praticidade. Nas condições usuais do curso, as duas integrais iteradas representam a mesma quantidade, mas uma das ordens costuma ser bem mais fácil de calcular.

Para uma integral simples, você pode pensar em dividir um intervalo em pequenas larguras $dx$. Para uma integral dupla, você divide uma região em pequenos retângulos com área $dA$.

Cada pequeno retângulo contribui aproximadamente com

$$f(x,y)\,dA.$$

Somando essas contribuições em toda a região, você obtém a acumulação total.

Exemplo de integral dupla em um retângulo

Calcule

$$\iint_R (x+2y)\,dA$$

em que

$$R = \{(x,y) : 0 \le x \le 2,\ 1 \le y \le 3\}.$$

Essa região é um retângulo, então uma integral iterada é direta:

$$\iint_R (x+2y)\,dA = \int_0^2 \int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx.$$

Integre primeiro em relação a $y$. Ao fazer isso, trate $x$ como constante:

$$\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy + y^2\right]_1^3 = (3x+9)-(x+1) = 2x+8.$$

Agora integre a expressão externa em relação a $x$:

$$\int_0^2 (2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 4+16 = 20.$$

Portanto,

$$\iint_R (x+2y)\,dA = 20.$$

Isso faz sentido porque $x+2y$ é positivo em todo $R$, então a acumulação total também deve ser positiva.

O que muda quando a região não é um retângulo

Se a região não for um retângulo, os limites muitas vezes dependem da outra variável. Por exemplo, você pode ver uma região descrita por curvas como

$$0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x+1.$$

Então os limites internos deixam de ser constantes. Eles passam a variar com $x$.

É por isso que esboçar a região importa. Em muitas soluções de alunos, a álgebra está certa e a região está errada.

Erros comuns em integrais duplas

1. Usar limites que não correspondem à região desejada.
2. Esquecer qual variável é integrada primeiro. Em $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$, a integral interna é em relação a $y$.
3. Tratar as duas variáveis como ativas durante a etapa interna. A variável externa deve ser tratada como constante nessa etapa.
4. Supor que o resultado é volume geométrico mesmo quando a função assume valores negativos. Nesse caso, a integral dupla fornece volume com sinal.
5. Trocar a ordem de integração sem ajustar os limites corretamente.

Onde integrais duplas são usadas

Integrais duplas aparecem sempre que uma quantidade está distribuída sobre uma área, e não ao longo de uma linha.

• Em geometria, elas fornecem área ou volume sob uma superfície.
• Em física, podem somar massa sobre uma lâmina quando a densidade depende da posição.
• Em probabilidade, aparecem em distribuições conjuntas contínuas de duas variáveis.
• Em engenharia, são usadas quando uma quantidade varia ao longo de uma superfície ou seção transversal.

A interpretação depende da função. Se o integrando for densidade, o resultado é massa. Se o integrando for altura, o resultado é volume com sinal.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão mudando o exemplo para

$$\iint_R (2x+y)\,dA$$

no mesmo retângulo $0 \le x \le 2$, $1 \le y \le 3$. Depois inverta a ordem de integração e verifique que o valor permanece o mesmo. Se quiser ir um passo além, explore um problema parecido em uma região triangular, para que os limites dependam da outra variável.