Forma ponto-inclinação

A forma ponto-inclinação é a fórmula da reta

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Use-a quando você conhece um ponto de uma reta não vertical e a inclinação. Nessa fórmula, $(x_1, y_1)$ é o ponto conhecido e $m$ é a inclinação. Muitas vezes, essa é a maneira mais rápida de escrever a equação antes de convertê-la para a forma inclinação-intercepto.

O que significa a forma ponto-inclinação

A inclinação compara a variação vertical com a variação horizontal. Se uma reta tem inclinação $m$, então

$$m = \frac{y - y_1}{x - x_1}$$

desde que $x \ne x_1$. Multiplicar os dois lados por $x - x_1$ dá

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Então, a forma ponto-inclinação é apenas a definição de inclinação reescrita para que o ponto conhecido continue visível.

Por que a fórmula é útil

Pense em $(x_1, y_1)$ como um ponto de apoio. A expressão $x - x_1$ diz o quanto você se moveu horizontalmente a partir desse ponto. Multiplicar por $m$ dá a variação vertical correspondente, então $y - y_1$ precisa ser igual a $m(x - x_1)$.

É por isso que essa forma parece tão direta: você começa com um ponto conhecido e depois constrói a reta usando sua inclinação.

Exemplo resolvido: escreva uma reta a partir de um ponto e de uma inclinação

Encontre a equação da reta com inclinação $-4$ que passa por $(2, 3)$.

Comece com a fórmula:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Substitua $m = -4$, $x_1 = 2$ e $y_1 = 3$:

$$y - 3 = -4(x - 2)$$

Essa já é uma resposta final correta na forma ponto-inclinação.

Se você quiser a forma inclinação-intercepto, desenvolva:

$$y - 3 = -4x + 8$$ $$y = -4x + 11$$

As duas equações descrevem a mesma reta. A forma ponto-inclinação e a forma inclinação-intercepto são maneiras diferentes de escrever a mesma relação.

Uma verificação rápida evita que erros passem despercebidos. Substitua o ponto dado:

$$y - 3 = -4(2 - 2) = 0$$

Então $y = 3$, o que corresponde ao ponto original $(2, 3)$.

Erros comuns na forma ponto-inclinação

1. Inverter os valores do ponto. Se o ponto é $(2, 3)$, escreva $y - 3$ e $x - 2$, não $y - 2$ e $x - 3$.
2. Perder o sinal de menos com coordenadas negativas. Se o ponto é $(-1, 5)$, então $x - (-1)$ vira $x + 1$.
3. Achar que a equação precisa ser simplificada. $y - 3 = -4(x - 2)$ já é uma equação válida da reta.
4. Usar a forma ponto-inclinação para uma reta vertical. Uma reta vertical tem inclinação indefinida, então ela é escrita como $x = c$.

Quando usar a forma ponto-inclinação

Use a forma ponto-inclinação quando estas duas informações forem conhecidas:

1. Um ponto de uma reta não vertical
2. A inclinação dessa reta

Ela aparece com frequência em problemas de álgebra e geometria analítica porque muitas questões fornecem exatamente essas informações. Também é útil depois que você calcula a inclinação a partir de dois pontos e ainda precisa encontrar a equação da reta.

Uma verificação rápida antes de continuar

Olhe novamente para o ponto dado no problema. Se você não consegue ver esse ponto claramente em $y - y_1 = m(x - x_1)$, ou se ao substituí-lo os dois lados não ficam iguais, provavelmente houve erro na substituição.

Tente um problema parecido

Tente escrever a reta com inclinação $\frac{1}{2}$ que passa por $(-4, 1)$. Escreva primeiro na forma ponto-inclinação e só depois converta, se quiser, para a forma inclinação-intercepto. Se quiser mais um caso, explore a forma inclinação-intercepto em seguida e compare como a mesma reta aparece nos dois formatos.