Transformada de Laplace — Tabela, Propriedades e Inversa

A transformada de Laplace converte uma função no domínio do tempo $f(t)$ em uma nova função $F(s)$ que muitas vezes é mais fácil de trabalhar. Em um curso introdutório, sua principal função é simples: transformar equações diferenciais com condições iniciais em problemas algébricos e depois usar a transformada inversa de Laplace para voltar a $t$.

Para a transformada de Laplace unilateral, usada na maioria das disciplinas de equações diferenciais, a definição é

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

quando a integral converge.

Se $\operatorname{Re}(s)$ for grande o suficiente, o fator $e^{-st}$ atenua o comportamento para $t$ grande, e a integral imprópria pode permanecer finita. Essa condição de convergência faz parte da transformada, não é um detalhe extra.

Para que serve a transformada de Laplace

A transformada não muda o significado do problema. Ela apenas reorganiza o problema em uma forma na qual derivação vira álgebra.

Por isso, o método é especialmente útil para problemas lineares de valor inicial. Você mantém a condição inicial, mas a equação em si normalmente fica mais fácil de resolver.

Tabela da transformada de Laplace: pares mais comuns

Estas são as entradas da tabela que os estudantes mais usam. A condição na coluna da direita importa porque indica onde a transformada existe.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	Válida quando
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

Se você estiver trabalhando apenas com exemplos reais de sala de aula, essas condições costumam aparecer como desigualdades do tipo $s > 0$ ou $s > a$. De forma mais geral, a transformada é definida em uma região do plano complexo $s$.

Propriedades da transformada de Laplace que fazem a maior parte do trabalho

Você não precisa de uma lista longa. Estas três propriedades resolvem uma grande parte dos problemas de um primeiro curso.

Linearidade

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Isso permite separar uma soma em transformadas mais simples.

Regra da derivada

Se $f$ é contínua por partes em todo intervalo finito e de ordem exponencial, então

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Esse é o passo principal na resolução de problemas de valor inicial. O valor inicial aparece automaticamente, em vez de ser acrescentado depois à mão.

Deslocamento exponencial

Se $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ e ambas as transformadas existem, então

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

É por isso que muitas entradas da tabela estão relacionadas por um simples deslocamento em $s$.

Transformada inversa de Laplace: o que ela significa

A transformada inversa de Laplace começa com $F(s)$ e recupera a função $f(t)$ no domínio do tempo.

Em teoria, existe uma fórmula formal de inversão. Na maioria dos problemas de sala de aula, porém, você não calcula essa fórmula diretamente. Em vez disso, simplifica $F(s)$ em formas conhecidas da tabela, muitas vezes com álgebra ou frações parciais, e então lê a resposta na tabela.

Exemplo resolvido: use a transformada de Laplace para resolver um PVI

Considere

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

Seja

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados:

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

Use a regra da derivada e a entrada da tabela para $1$:

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

Como $y(0) = 0$,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

Logo,

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

Agora separe em frações mais simples:

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

Aplique a transformada inversa de Laplace termo a termo:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

Portanto,

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

Esse é o fluxo completo da transformada de Laplace em um exemplo: transformar, resolver em $s$ e depois inverter. Uma equação diferencial virou um problema algébrico, e a condição inicial já estava incorporada ao cálculo desde o começo.

Erros comuns com a transformada de Laplace

Esquecer a condição de convergência

Uma entrada da tabela só é válida onde a integral que a define converge. Se você ignorar essa condição, estará deixando de fora parte da resposta.

Omitir o valor inicial em $\mathcal{L}\{f'(t)\}$

O termo $-f(0)$ é fácil de esquecer. Se você o omitir, a equação transformada normalmente resolverá o problema errado.

Tentar inverter cedo demais

Se $F(s)$ for uma expressão racional, muitas vezes é mais fácil simplificá-la primeiro. Frações parciais são um passo comum antes de aplicar a transformada inversa.

Quando a transformada de Laplace é usada

A transformada de Laplace é especialmente útil para equações diferenciais ordinárias lineares com condições iniciais. Esse é o uso padrão em sala de aula.

Ela também aparece em análise de circuitos, sistemas de controle, modelagem de sinais e em qualquer contexto em que respostas exponenciais e entradas no domínio do tempo precisem ser tratadas de forma sistemática.

Tente sua própria versão

Tente o mesmo procedimento em

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

Transforme a equação, resolva para $Y(s)$ e depois aplique a inversa. Se quiser uma verificação rápida, compare seu $y(t)$ final com a condição inicial original e com a equação diferencial em $t=0$.