Representação em Espaço de Estados

A representação em espaço de estados reescreve um sistema dinâmico como um conjunto de equações de primeira ordem. Em vez de trabalhar com uma única equação diferencial de ordem mais alta, você acompanha um vetor de estado que contém as informações necessárias para prever o que acontece em seguida.

Se você procurou como converter uma equação diferencial para a forma em espaço de estados, esta é a ideia central: escolher variáveis de estado, escrever uma equação para a derivada de cada variável e manter o modelo em primeira ordem.

Representação em Espaço de Estados em Uma Definição

Em geral, um modelo em espaço de estados pode ser escrito como

$$x'(t) = f(x(t), u(t), t)$$

Aqui, $x(t)$ é o vetor de estado e $u(t)$ é uma entrada, quando o sistema tem uma. Se o sistema for linear e invariante no tempo, a mesma ideia assume a forma matricial

$$x'(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Essa versão matricial é comum em controle e em equações diferenciais, mas espaço de estados é mais amplo do que o caso linear.

O Que o Estado Significa

O estado é o conjunto de quantidades atuais que permite determinar o comportamento futuro assim que a entrada é conhecida. Para um objeto em movimento, apenas a posição geralmente não é suficiente. Posição e velocidade juntas muitas vezes são.

É por isso que a representação em espaço de estados é útil. Ela transforma um problema de evolução no tempo em uma forma padrão de primeira ordem, mais fácil de analisar, simular e conectar a métodos matriciais.

Por Que Reescrever um Sistema Dessa Forma

Muitos modelos começam como equações diferenciais de ordem mais alta. A forma em espaço de estados os reescreve sem alterar a dinâmica subjacente.

Isso importa porque sistemas de primeira ordem se encaixam em uma mesma estrutura. Quando um modelo está nessa estrutura, fica mais fácil discutir condições iniciais, entradas, saídas e estabilidade de maneira consistente.

Exemplo Resolvido: Converter uma Equação de Segunda Ordem para Espaço de Estados

Comece com

$$y'' + 3y' + 2y = u(t)$$

Aqui, $u(t)$ é uma entrada. Escolha variáveis de estado que capturem a condição atual do sistema:

$$x_1 = y, \qquad x_2 = y'$$

Agora escreva uma equação de primeira ordem para cada variável de estado. Como $x_1 = y$,

$$x_1' = x_2$$

Como $x_2 = y'$, também temos $x_2' = y''$. Reorganizando a equação original, obtemos

$$y'' = -3y' - 2y + u(t)$$

Substitua $y = x_1$ e $y' = x_2$:

$$x_2' = -2x_1 - 3x_2 + u(t)$$

Então, as equações de estado são

$$\begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= -2x_1 - 3x_2 + u(t) \end{aligned}$$

Na forma vetorial, com

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},$$

isso se torna

$$x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t)$$

Se a saída for a grandeza original $y$, então

$$y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x$$

O passo principal é a conversão de uma equação de segunda ordem em duas equações de primeira ordem. Esse é o coração da representação em espaço de estados.

O Que Observar Neste Exemplo

As variáveis de estado foram escolhidas por um motivo. Elas tornam possível escrever o modelo como um sistema de primeira ordem.

Observe também que a saída $y$ não é a mesma coisa que o vetor de estado completo. Neste exemplo, $y = x_1$, enquanto o estado completo é $(x_1, x_2)$. Essas ideias podem se sobrepor, mas não são automaticamente idênticas.

Erros Comuns ao Converter para a Forma em Espaço de Estados

Confundir o estado com a saída

O estado contém as variáveis internas necessárias para fazer o sistema evoluir. A saída é a grandeza que você escolhe observar. Às vezes elas coincidem, mas não são automaticamente a mesma coisa.

Supor que a representação é única

Geralmente não é. Diferentes escolhas de variáveis de estado podem descrever a mesma dinâmica, desde que capturem informação suficiente.

Esquecer a exigência de primeira ordem

Um modelo em espaço de estados é escrito como equações de primeira ordem nas variáveis de estado. Se ainda restar uma derivada de segunda ordem de uma variável de estado, a reescrita não terminou.

Tratar todo modelo como linear

A forma matricial com $A$, $B$, $C$ e $D$ só se aplica quando as equações são lineares nas variáveis de estado escolhidas. Sistemas não lineares também usam espaço de estados, mas são escritos com funções em vez de matrizes constantes.

Onde a Representação em Espaço de Estados É Usada

A representação em espaço de estados aparece em equações diferenciais, teoria de controle, processamento de sinais, robótica e física. Ela é especialmente útil quando você quer entender como um sistema muda ao longo do tempo e como as entradas afetam essa mudança.

Se o modelo for linear, os métodos matriciais se tornam especialmente úteis. Por exemplo, os autovalores da matriz $A$ podem ajudar a descrever crescimento, decaimento ou oscilação, mas apenas sob as hipóteses incorporadas ao modelo.

Tente Sua Própria Versão

Considere

$$y'' + 4y' + 5y = 0$$

e escolha $x_1 = y$, $x_2 = y'$. Reescreva como um sistema de primeira ordem e depois identifique a matriz $A$. Se isso fizer sentido, tente um problema parecido com um termo de entrada e veja como a matriz $B$ aparece.