Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz informa quantas raízes de um polinômio característico estão no semiplano direito sem precisar resolver diretamente as raízes. Em sistemas de controle, isso fornece um teste rápido para saber se um sistema em tempo contínuo é assintoticamente estável.

Para um polinômio com coeficientes reais

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

com $a_n > 0$, monte a tabela de Routh e observe sua primeira coluna. Depois de tratar qualquer caso especial, como um zero na primeira coluna ou uma linha inteira de zeros, o número de mudanças de sinal nessa primeira coluna é igual ao número de raízes com parte real positiva. Se não houver mudanças de sinal, todas as raízes estão no semiplano esquerdo aberto.

O que o critério de Routh-Hurwitz verifica

Na maioria dos problemas de controle, estabilidade significa que toda raiz característica satisfaz $\operatorname{Re}(s) < 0$. Essa condição é importante: o critério usual de Routh-Hurwitz vale para sistemas em tempo contínuo no plano $s$, não para sistemas em tempo discreto no plano $z$.

O valor prático está na rapidez. Você pode decidir a estabilidade apenas pelos coeficientes, o que muitas vezes é mais fácil do que encontrar as raízes exatas.

Como montar a tabela de Routh

Comece listando os coeficientes em ordem decrescente das potências de $s$. As duas primeiras linhas alternam os coeficientes:

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

Depois, calcule as linhas inferiores a partir das duas linhas acima. Para um polinômio cúbico,

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

a tabela é:

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

Assim, para um cúbico com coeficiente líder positivo, a estabilidade assintótica exige

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

Essa última desigualdade é a parte que muita gente esquece. Coeficientes positivos, por si só, não bastam.

Exemplo resolvido: coeficientes positivos, mas instável

Considere

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

Todos os coeficientes são positivos, então à primeira vista ele pode parecer estável. A tabela de Routh mostra por que essa conclusão está errada.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Simplificando a linha de $s^1$, obtemos

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Agora observe apenas a primeira coluna:

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

Há duas mudanças de sinal, de $1$ para $-6$ e de $-6$ para $8$. Portanto, o polinômio tem $2$ raízes no semiplano direito, o que significa que o sistema é instável.

Esta é a principal intuição que você deve guardar: para grau $3$ ou maior, coeficientes positivos não garantem estabilidade.

Erros comuns com o critério de Routh-Hurwitz

Verificar apenas os coeficientes

Se todos os coeficientes são positivos, isso não significa automaticamente que o sistema é estável. O exemplo resolvido acima é exatamente o contraexemplo.

Esquecer o domínio do teste

O critério usual de Routh-Hurwitz se aplica a polinômios característicos em $s$ de sistemas em tempo contínuo. Se você estiver estudando um sistema em tempo discreto, precisa de outro teste.

Ignorar casos especiais

Um zero na primeira coluna ou uma linha inteira de zeros é um caso especial, não um ponto normal para parar. Esses casos exigem um procedimento extra, muitas vezes envolvendo uma pequena perturbação ou um polinômio auxiliar.

Não normalizar o polinômio

O mais seguro é escrever o polinômio em ordem decrescente das potências de $s$ e tornar positivo o coeficiente líder antes de montar a tabela. Caso contrário, o teste de sinais pode ser interpretado de forma errada.

Quando o critério de Routh-Hurwitz é usado

Use o critério de Routh-Hurwitz quando um modelo leva a um polinômio característico e você precisa de uma resposta rápida sobre estabilidade.

Em sistemas de controle, ele verifica se um sistema em malha fechada é estável sem calcular explicitamente os polos. Em modelos de circuitos e mecânicos, ajuda a testar se escolhas de parâmetros levam a respostas decrescentes ou crescentes. Em projetos, é útil para encontrar faixas de parâmetros que mantêm o sistema estável.

Ele é especialmente útil quando encontrar as raízes exatas seria demorado ou desnecessário.

Tente um teste de estabilidade semelhante

Tente o mesmo processo em

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

Monte a primeira coluna e verifique se aparece alguma mudança de sinal. Depois compare sua resposta com a condição cúbica $a_1 a_2 > a_3$ para ver que os dois métodos concordam.