Integração — Regras e Exemplos

Integração significa ou encontrar uma antiderivada ou somar variações acumuladas. Na maioria dos primeiros problemas de cálculo, "integre esta função" quer dizer: encontre uma função cuja derivada seja o integrando.

Para uma integral indefinida,

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

isso significa que $F'(x) = f(x)$. O $+C$ importa porque quaisquer duas antiderivadas da mesma função podem diferir por uma constante.

Se a integral tem limites, como $\int_a^b f(x)\,dx$, ela descreve a acumulação líquida no intervalo $[a,b]$. Em geometria, isso muitas vezes representa área com sinal. Em aplicações, pode representar uma quantidade que se acumula ao longo do tempo.

Qual Regra de Integração Você Deve Tentar Primeiro?

Comece olhando para a forma do integrando.

• Se o integrando for uma soma ou diferença, integre termo a termo.
• Se houver um múltiplo constante, coloque a constante para fora.
• Se a expressão corresponder a um padrão conhecido, use a regra de antiderivada correspondente.
• Se o integrando for um produto, quociente ou composição, uma regra básica pode não ser suficiente.

Isso importa porque integração é menos mecânica do que diferenciação. Não existe uma única regra que trate diretamente toda expressão.

Regras Básicas de Integração que Você Deve Conhecer

Regra do Múltiplo Constante e da Soma

Se $a$ e $b$ são constantes, então:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

É por isso que a integração termo a termo funciona.

Regra da Potência

Se $n \ne -1$, então:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Exemplo: $\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C$.

O Caso Especial $\int \frac{1}{x}\,dx$

Quando o expoente é $-1$, a regra da potência não se aplica. Em vez disso,

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

O valor absoluto importa porque $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ para $x \ne 0$.

Antiderivadas Padrão Comuns

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

Vale a pena reconhecer essas expressões de imediato porque elas aparecem com frequência nos primeiros problemas de integração.

Por Que a Integração Parece Inverter a Diferenciação

A diferenciação pergunta: "Como esta função está variando agora?" A integração faz a pergunta inversa: "Que função poderia ter produzido essa taxa de variação?"

É por isso que verificar uma integral derivando sua resposta é tão útil. Se a derivada leva você de volta ao integrando original, a antiderivada está correta.

Exemplo de Integração: Combine Três Regras Básicas

Encontre

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx$$

Isto é uma soma, então integre cada termo separadamente.

Para o primeiro termo, use a regra da potência:

$$\int 4x^3\,dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$$

Para o segundo termo, use o caso especial do logaritmo:

$$\int -\frac{6}{x}\,dx = -6\ln|x|$$

Para o terceiro termo, use a regra trigonométrica padrão:

$$\int 2\cos x\,dx = 2\sin x$$

Agora combine os resultados:

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx = x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C$$

Verifique derivando:

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C\right) = 4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x$$

Essa verificação é especialmente boa para detectar sinais trocados e constantes esquecidas.

Erros Comuns em Integração

1. Esquecer o $+C$ em uma integral indefinida.
2. Usar a regra da potência para $x^{-1}$. Nesse caso, a resposta é $\ln|x| + C$, não uma resposta pela regra da potência.
3. Separar um produto como se $\int f(x)g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \int g(x)\,dx$. Em geral, isso é falso.
4. Copiar uma regra de derivada ao contrário sem verificar o sinal. Por exemplo, $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.

Quando Integrais Definidas São Usadas

A integração aparece sempre que uma quantidade é construída a partir de muitas pequenas variações.

• Em geometria, uma integral definida pode representar a área com sinal sob uma curva.
• Em física, integrar a velocidade fornece o deslocamento em um intervalo.
• Em economia ou engenharia, a integração pode modelar custo acumulado, crescimento ou fluxo.

A condição importa. Por exemplo, se a velocidade muda de sinal, integrar a velocidade fornece o deslocamento líquido, não a distância total.

Quando as Regras Básicas Deixam de Funcionar

As regras básicas funcionam bem quando o integrando já corresponde a um padrão familiar. Se não corresponder, você pode precisar de substituição, integração por partes ou outra técnica.

Esse é um bom ponto para parar: se uma fórmula não se encaixa claramente, não force.

Tente uma Integral Parecida

Tente

$$\int \left(5x^2 + \frac{3}{x} - 4\sin x\right)\,dx$$

Depois derive sua resposta para verificar. Se você consegue explicar por que o termo do meio vira um logaritmo, então entendeu a principal exceção à regra da potência.