Napięcie powierzchniowe — wzór, kapilarność i zastosowania

Napięcie powierzchniowe to właściwość, która sprawia, że powierzchnia cieczy opiera się zwiększaniu i dąży do najmniejszego możliwego pola. W fizyce zwykle oznacza się je przez $\gamma$ i mierzy w $\mathrm{N/m}$.

Szybka intuicja jest taka: cząsteczka wewnątrz cieczy jest otoczona przez sąsiadów, ale cząsteczka na powierzchni już nie. Ta nierównowaga zmienia energię powierzchni, więc ciecz dąży do zmniejszenia pola powierzchni, gdy tylko może.

Trzy wzory pojawiają się bardzo często:

$$\gamma = \frac{F}{L}$$ $$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$ $$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

Pierwszy daje siłę przypadającą na jednostkę długości wzdłuż powierzchni cieczy. Drugi opisuje różnicę ciśnień dla kulistej kropli cieczy o promieniu $r$. Trzeci to wzór na wznoszenie kapilarne w wąskiej cylindrycznej rurce w stanie równowagi. Dla bańki mydlanej, która ma dwie powierzchnie cieczy, różnica ciśnień wynosi

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

Każdy wzór stosuj tylko w odpowiednich warunkach. Powyższe wzory na ciśnienie dotyczą kształtów kulistych, a wzór kapilarny dotyczy wąskiej cylindrycznej rurki w stanie równowagi.

Co fizycznie oznacza napięcie powierzchniowe

Napięcie powierzchniowe nie jest dosłowną błonką unoszącą się na powierzchni cieczy. To skutek sił międzycząsteczkowych, które sprawiają, że powierzchnia zachowuje się inaczej niż wnętrze cieczy.

Dlatego małe krople mają tendencję do przyjmowania prawie kulistego kształtu. Dla danej objętości kula ma najmniejsze pole powierzchni, więc taki kształt jest uprzywilejowany, gdy napięcie powierzchniowe ma większe znaczenie niż grawitacja.

Często mówi się, że powierzchnia „zachowuje się jak napięta błona”. To użyteczny obraz, ale wciąż tylko analogia. Przyczyną są oddziaływania międzycząsteczkowe, a nie rzeczywista elastyczna warstwa.

Wzór na napięcie powierzchniowe i jednostki

W najprostszym ujęciu mechanicznym

$$\gamma = \frac{F}{L}$$

gdzie $F$ jest siłą działającą stycznie wzdłuż powierzchni, a $L$ jest długością, na której ta siła działa.

To najprostszy sposób, by zrozumieć jednostkę. Jeśli ramka lub pasek ciągnie powierzchnię cieczy, to $\gamma$ mówi, jaka siła przypada na jednostkę długości tej powierzchni.

Możesz też spotkać opis napięcia powierzchniowego jako energii na jednostkę pola. W jednostkach SI ten opis jest zgodny, ale w większości zadań wprowadzających łatwiej używać interpretacji siły na jednostkę długości.

Dlaczego zachodzi wznoszenie kapilarne

Kapilarność to podnoszenie się lub obniżanie poziomu cieczy w wąskiej rurce. Zależy zarówno od napięcia powierzchniowego, jak i od kąta zwilżania $\theta$ między cieczą a ścianką rurki.

Jeśli ciecz zwilża ściankę, to $\theta < 90^\circ$ i $\cos\theta > 0$, więc ciecz się podnosi. Standardowym przykładem jest woda w czystym szkle.

Jeśli ciecz nie zwilża ścianki, to $\theta > 90^\circ$ i $\cos\theta < 0$, więc poziom cieczy się obniża. Standardowym przykładem jest rtęć w szkle.

Dla wąskiej cylindrycznej rurki o promieniu $r$ wysokość kapilarna w stanie równowagi wynosi

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

gdzie $\rho$ jest gęstością cieczy, a $g$ przyspieszeniem grawitacyjnym.

To wzór równowagowy. Podaje końcową różnicę wysokości po tym, jak pionowa składowa siły napięcia powierzchniowego zrównoważy ciężar słupa cieczy.

Przykład obliczeniowy: wznoszenie kapilarne wody

Załóżmy, że woda podnosi się w czystej szklanej rurce kapilarnej o promieniu

$$r = 0.50\ \mathrm{mm} = 5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Przyjmij napięcie powierzchniowe

$$\gamma = 0.072\ \mathrm{N/m}$$

gęstość

$$\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$$

oraz przyspieszenie grawitacyjne

$$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$$

Jeśli woda dobrze zwilża szkło, to $\theta \approx 0^\circ$ i $\cos\theta \approx 1$. Użyj wzoru na wznoszenie kapilarne:

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$ $$h = \frac{2(0.072)(1)}{(1000)(9.8)(5.0 \times 10^{-4})}$$ $$h = \frac{0.144}{4.9} \approx 0.029\ \mathrm{m}$$

Zatem woda podnosi się o około

$$h \approx 2.9\ \mathrm{cm}$$

Najważniejsza zależność jest taka, że mniejsza rurka daje większe wznoszenie, ponieważ $h \propto 1/r$, gdy pozostałe wielkości pozostają takie same.

Różnica ciśnień w kroplach i bańkach mydlanych

Zakrzywione powierzchnie cieczy powodują skok ciśnienia.

Dla kulistej kropli cieczy

$$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$

Dla bańki mydlanej

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

Dodatkowy czynnik $2$ dla bańki wynika z tego, że bańka mydlana ma dwie powierzchnie cieczy: jedną od strony wewnętrznej i drugą od strony zewnętrznej. Zwykła kropla cieczy ma tylko jedną taką powierzchnię.

Ma to największe znaczenie w małych skalach, ponieważ różnica ciśnień rośnie, gdy promień maleje.

Typowe błędy przy wzorach na napięcie powierzchniowe

Mylenie napięcia powierzchniowego z lepkością

Napięcie powierzchniowe dotyczy powierzchni cieczy. Lepkość dotyczy oporu przepływu wewnątrz cieczy.

Pomijanie kąta zwilżania bez zaznaczenia tego

Jeśli po cichu zastępujesz $\cos\theta$ przez $1$, zakładasz całkowite zwilżanie. W niektórych zadaniach z wodą i szkłem może to być rozsądne przybliżenie, ale nie zawsze jest prawdziwe.

Używanie wzoru dla kropli do bańki mydlanej

Używaj $\Delta p = 2\gamma / r$ dla kulistej kropli i $\Delta p = 4\gamma / r$ dla bańki mydlanej.

Zapominanie, że promień rurki zmienia wynik

Wzór pokazuje coś przeciwnego: mniejszy promień rurki oznacza większą wartość wznoszenia lub obniżenia poziomu.

Gdzie wykorzystuje się napięcie powierzchniowe

Napięcie powierzchniowe ma znaczenie w kroplach, bańkach, zwilżaniu i powlekaniu, zjawiskach kapilarnych w cienkich rurkach, detergentach, druku atramentowym i urządzeniach mikroprzepływowych.

W wielu takich przypadkach główna rywalizacja zachodzi między efektami powierzchniowymi a grawitacją lub efektami ciśnieniowymi. Dlatego napięcie powierzchniowe staje się szczególnie ważne przy małych skalach długości.

Spróbuj podobnego zadania

Zmień przykład obliczeniowy, podwajając promień rurki przy zachowaniu tej samej cieczy i tego samego kąta zwilżania. Przewidź nową wysokość przed wykonaniem obliczeń. Następnie spróbuj własnej wersji z inną cieczą albo innym kątem zwilżania.