Oberflächenspannung — Formel, Kapillarität & Anwendungen

Die Oberflächenspannung ist die Eigenschaft, durch die eine Flüssigkeitsoberfläche einer Vergrößerung widersteht und sich zur kleinstmöglichen Fläche zusammenzieht. In der Physik wird sie meist mit $\gamma$ bezeichnet und in $\mathrm{N/m}$ gemessen.

Die Grundidee ist einfach: Ein Molekül im Inneren der Flüssigkeit ist von Nachbarn umgeben, ein Molekül an der Oberfläche jedoch nicht. Dieses Ungleichgewicht verändert die Energie der Oberfläche, sodass die Flüssigkeit ihre Oberfläche verkleinern will, wenn sie kann.

Drei Formeln tauchen immer wieder auf:

$$\gamma = \frac{F}{L}$$ $$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$ $$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

Die erste gibt die Kraft pro Längeneinheit entlang einer Flüssigkeitsoberfläche an. Die zweite ist die Druckdifferenz für einen kugelförmigen Flüssigkeitstropfen mit Radius $r$. Die dritte ist die Formel für den Kapillarstieg in einem engen zylindrischen Rohr im Gleichgewicht. Für eine Seifenblase, die zwei Flüssigkeitsoberflächen hat, gilt für die Druckdifferenz

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

Verwende jede Formel nur unter ihrer jeweiligen Bedingung. Die obigen Druckformeln gelten für kugelförmige Formen, und die Kapillarformel gilt für ein enges zylindrisches Rohr im Gleichgewicht.

Was Oberflächenspannung physikalisch bedeutet

Oberflächenspannung ist keine echte Haut, die auf der Flüssigkeit schwimmt. Sie ist das Ergebnis zwischenmolekularer Kräfte, durch die sich die Oberfläche anders verhält als das Innere der Flüssigkeit.

Deshalb werden kleine Tropfen meist annähernd kugelförmig. Bei gegebenem Volumen hat eine Kugel die kleinste Oberfläche, daher wird diese Form bevorzugt, wenn die Oberflächenspannung wichtiger ist als die Schwerkraft.

Oft sagt man, die Oberfläche „verhalte sich wie eine gespannte Folie“. Dieses Bild ist nützlich, aber es bleibt nur eine Analogie. Die Ursache ist die molekulare Wechselwirkung, nicht eine tatsächliche elastische Schicht.

Formel und Einheiten der Oberflächenspannung

In der einfachsten mechanischen Definition gilt

$$\gamma = \frac{F}{L}$$

wobei $F$ die Kraft ist, die tangential entlang der Oberfläche wirkt, und $L$ die Länge, über die diese Kraft wirkt.

So versteht man die Einheit am klarsten. Wenn ein Rahmen oder Streifen an einer Flüssigkeitsoberfläche zieht, gibt $\gamma$ die Kraft pro Längeneinheit entlang dieser Oberfläche an.

Man kann die Oberflächenspannung auch als Energie pro Flächeneinheit beschreiben. Diese Beschreibung ist in SI-Einheiten konsistent, aber für die meisten Einführungsaufgaben ist die Sichtweise als Kraft pro Länge leichter anzuwenden.

Warum Kapillarstieg auftritt

Kapillarität ist das Steigen oder Sinken einer Flüssigkeit in einem engen Rohr. Sie hängt sowohl von der Oberflächenspannung als auch vom Kontaktwinkel $\theta$ zwischen der Flüssigkeit und der Rohrwand ab.

Wenn die Flüssigkeit die Wand benetzt, dann gilt $\theta < 90^\circ$ und $\cos\theta > 0$, also steigt die Flüssigkeit. Wasser in sauberem Glas ist das Standardbeispiel.

Wenn die Flüssigkeit die Wand nicht benetzt, dann gilt $\theta > 90^\circ$ und $\cos\theta < 0$, also wird der Flüssigkeitsspiegel abgesenkt. Quecksilber in Glas ist das Standardbeispiel.

Für ein enges zylindrisches Rohr mit Radius $r$ ist die Kapillarhöhe im Gleichgewicht

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

wobei $\rho$ die Dichte der Flüssigkeit und $g$ die Erdbeschleunigung ist.

Dies ist eine Gleichgewichtsformel. Sie gibt die endgültige Höhendifferenz an, nachdem die vertikale Wirkung der Oberflächenspannung das Gewicht der Flüssigkeitssäule ausgleicht.

Rechenbeispiel: Kapillarstieg von Wasser

Angenommen, Wasser steigt in einem sauberen Glaskapillarröhrchen mit dem Radius

$$r = 0.50\ \mathrm{mm} = 5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Nimm für die Oberflächenspannung

$$\gamma = 0.072\ \mathrm{N/m}$$

für die Dichte

$$\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$$

und für die Erdbeschleunigung

$$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$$

Wenn das Wasser das Glas gut benetzt, dann ist $\theta \approx 0^\circ$ und $\cos\theta \approx 1$. Verwende die Formel für den Kapillarstieg:

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$ $$h = \frac{2(0.072)(1)}{(1000)(9.8)(5.0 \times 10^{-4})}$$ $$h = \frac{0.144}{4.9} \approx 0.029\ \mathrm{m}$$

Also steigt das Wasser um etwa

$$h \approx 2.9\ \mathrm{cm}$$

Der wichtige Zusammenhang ist: Ein kleineres Rohr führt zu einem größeren Anstieg, weil $h \propto 1/r$ gilt, wenn die anderen Größen gleich bleiben.

Druckdifferenz bei Tropfen und Seifenblasen

Gekrümmte Flüssigkeitsoberflächen erzeugen einen Drucksprung.

Für einen kugelförmigen Flüssigkeitstropfen gilt

$$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$

Für eine Seifenblase gilt

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

Der zusätzliche Faktor $2$ bei einer Blase entsteht, weil eine Seifenblase zwei Flüssigkeitsoberflächen hat, eine innen und eine außen. Ein einfacher Flüssigkeitstropfen hat nur eine solche Flüssigkeitsoberfläche.

Das ist besonders auf kleinen Skalen wichtig, weil die Druckdifferenz zunimmt, wenn der Radius kleiner wird.

Häufige Fehler bei Formeln zur Oberflächenspannung

Oberflächenspannung mit Viskosität verwechseln

Oberflächenspannung betrifft die Flüssigkeitsoberfläche. Viskosität betrifft den Widerstand gegen das Fließen innerhalb der Flüssigkeit.

Den Kontaktwinkel weglassen, ohne es zu sagen

Wenn du stillschweigend $\cos\theta$ durch $1$ ersetzt, nimmst du vollständige Benetzung an. Das kann für manche Aufgaben mit Wasser und Glas eine sinnvolle Näherung sein, ist aber nicht immer richtig.

Die Tropfenformel für eine Seifenblase verwenden

Verwende $\Delta p = 2\gamma / r$ für einen kugelförmigen Tropfen und $\Delta p = 4\gamma / r$ für eine Seifenblase.

Vergessen, dass der Rohrradius die Antwort verändert

Die Formel zeigt das Gegenteil: Ein kleinerer Rohrradius bedeutet einen größeren Betrag des Anstiegs oder der Absenkung.

Wo Oberflächenspannung verwendet wird

Oberflächenspannung spielt eine Rolle bei Tropfen, Blasen, Benetzung und Beschichtung, Kapillarwirkung in dünnen Rohren, Waschmitteln, Tintenstrahldruck und mikrofluidischen Geräten.

In vielen dieser Fälle besteht die wichtigste Konkurrenz zwischen Oberflächeneffekten und Schwerkraft- oder Druckeffekten. Deshalb wird die Oberflächenspannung besonders bei kleinen Längenskalen wichtig.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Ändere das Rechenbeispiel, indem du den Rohrradius verdoppelst und dieselbe Flüssigkeit sowie denselben Kontaktwinkel beibehältst. Sage die neue Höhe voraus, bevor du sie berechnest. Versuche dann deine eigene Variante mit einer anderen Flüssigkeit oder einem anderen Kontaktwinkel.