表面张力——公式、毛细现象与应用

表面张力是使液体表面抗拒扩张，并尽量收缩到最小面积的一种性质。在物理学中，它通常记作 $\gamma$，单位是 $\mathrm{N/m}$。

直观地说，液体内部的分子四周都被邻近分子包围，而表面分子则不是这样。这种不平衡会改变表面的能量，因此液体在可能的情况下会倾向于减小表面积。

有三个公式会反复出现：

$$\gamma = \frac{F}{L}$$ $$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$ $$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

第一个公式给出液面上单位长度所受的力。第二个公式表示半径为 $r$ 的球形液滴两侧的压强差。第三个公式是处于平衡状态的细圆柱形管中的毛细上升公式。对于有两个液面的肥皂泡，压强差为

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

每个公式都只能在对应条件下使用。上面的压强公式适用于球形，毛细公式则适用于处于平衡状态的细圆柱形管。

表面张力的物理意义

表面张力并不是液体表面真的漂着一层“膜”。它本质上是分子间作用力使表面与液体内部表现不同的结果。

这就是为什么小液滴往往接近球形。对于一定体积，球的表面积最小，所以当表面张力比重力更重要时，这种形状更容易出现。

人们常说液面“像一层被拉紧的薄膜”。这个说法有助于理解，但它仍然只是类比。真正的原因是分子相互作用，而不是一张真实存在的弹性薄片。

表面张力公式与单位

在最简单的力学定义中，

$$\gamma = \frac{F}{L}$$

其中 $F$ 是沿液面切向作用的力，$L$ 是该力作用的长度。

这是理解单位最直接的方法。如果一个框架或薄条拉着液面，$\gamma$ 表示沿液面单位长度所对应的力。

你也可能看到把表面张力描述为单位面积的能量。这个说法在 SI 单位制中是等价的，但对大多数入门题来说，“单位长度上的力”这种理解更容易使用。

为什么会发生毛细上升

毛细现象是液体在细管中上升或下降的现象。它既取决于表面张力，也取决于液体与管壁之间的接触角 $\theta$。

如果液体润湿管壁，那么 $\theta < 90^\circ$，且 $\cos\theta > 0$，液体就会上升。洁净玻璃中的水是标准例子。

如果液体不润湿管壁，那么 $\theta > 90^\circ$，且 $\cos\theta < 0$，液面就会下降。玻璃中的水银是标准例子。

对于半径为 $r$ 的细圆柱形管，平衡时的毛细高度为

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

其中 $\rho$ 是液体密度，$g$ 是重力加速度。

这是一个平衡公式。它给出的是最终的高度差，也就是表面张力的竖直效应与液柱重力平衡之后的结果。

例题：水的毛细上升

设水在一根洁净玻璃毛细管中上升，管半径为

$$r = 0.50\ \mathrm{mm} = 5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

取表面张力

$$\gamma = 0.072\ \mathrm{N/m}$$

密度

$$\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$$

以及重力加速度

$$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$$

如果水能很好地润湿玻璃，那么 $\theta \approx 0^\circ$，且 $\cos\theta \approx 1$。代入毛细上升公式：

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$ $$h = \frac{2(0.072)(1)}{(1000)(9.8)(5.0 \times 10^{-4})}$$ $$h = \frac{0.144}{4.9} \approx 0.029\ \mathrm{m}$$

所以水会上升约

$$h \approx 2.9\ \mathrm{cm}$$

这里最重要的规律是：在其他量不变时，管子越细，上升越高，因为 $h \propto 1/r$。

液滴与肥皂泡中的压强差

弯曲的液面会产生压强跃变。

对于球形液滴，

$$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$

对于肥皂泡，

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

肥皂泡多出的那个 $2$，是因为肥皂泡有两个液面，一个在内侧，一个在外侧。而普通液滴只有一个这样的液面。

这个效应在小尺度下尤其明显，因为半径越小，压强差越大。

表面张力公式中的常见错误

把表面张力和黏度混为一谈

表面张力讨论的是液体表面。黏度讨论的是液体内部对流动的阻力。

不说明条件就把接触角省掉

如果你直接把 $\cos\theta$ 换成 $1$，其实就是假设完全润湿。对某些水—玻璃问题，这样近似可能合理，但并不总是成立。

把液滴公式用于肥皂泡

球形液滴用 $\Delta p = 2\gamma / r$，肥皂泡用 $\Delta p = 4\gamma / r$。

忘记管半径会改变结果

公式恰好说明相反：管半径越小，上升或下降的幅度越大。

表面张力有哪些应用

表面张力在液滴、气泡、润湿与涂覆、细管中的毛细作用、洗涤剂、喷墨打印以及微流控器件中都很重要。

在很多这类情形中，主要的竞争关系是表面效应与重力效应或压强效应之间的竞争。这就是为什么表面张力在小尺度下尤其重要。

试着做一道类似的题

把上面的例题改成：在液体和接触角不变的情况下，将管半径加倍。先在计算前预测新的高度，再进行计算。然后你也可以尝试自己换一种液体，或者换一个不同的接触角。