표면장력 — 공식, 모세관 현상과 응용

표면장력은 액체 표면이 넓어지는 것을 거부하고 가능한 한 가장 작은 면적을 가지려는 성질입니다. 물리학에서는 보통 $\gamma$로 나타내며, 단위는 $\mathrm{N/m}$입니다.

핵심 아이디어는 이렇습니다. 액체 내부의 분자는 주변 분자들에 둘러싸여 있지만, 표면에 있는 분자는 그렇지 않습니다. 이 불균형 때문에 표면의 에너지가 달라지고, 액체는 가능하면 표면적을 줄이려 합니다.

다음 세 공식이 매우 자주 등장합니다.

$$\gamma = \frac{F}{L}$$ $$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$ $$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

첫 번째 식은 액체 표면을 따라 단위 길이당 작용하는 힘을 나타냅니다. 두 번째 식은 반지름이 $r$인 구형 액적에서의 압력 차입니다. 세 번째 식은 평형 상태에 있는 가는 원통형 관에서의 모세관 상승 공식입니다. 두 개의 액체 표면을 가진 비눗방울의 경우 압력 차는

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

입니다.

각 공식은 반드시 해당 조건에서만 사용해야 합니다. 위의 압력 공식은 구형에 대해 성립하고, 모세관 공식은 평형 상태의 가는 원통형 관에 대해 성립합니다.

표면장력의 물리적 의미

표면장력은 액체 위에 실제로 떠 있는 막 같은 것이 아닙니다. 이는 분자 사이의 힘 때문에 표면이 액체 내부와 다르게 거동하는 결과입니다.

그래서 작은 액적은 거의 구형이 되려는 경향이 있습니다. 같은 부피라면 구가 가장 작은 표면적을 가지므로, 중력보다 표면장력의 영향이 클 때 이 모양이 유리합니다.

사람들은 종종 표면이 "팽팽하게 당겨진 막처럼 작용한다"고 말합니다. 이 그림은 이해에 도움이 되지만 어디까지나 비유일 뿐입니다. 원인은 실제 탄성막이 아니라 분자 간 상호작용입니다.

표면장력 공식과 단위

가장 단순한 역학적 정의는

$$\gamma = \frac{F}{L}$$

이며, 여기서 $F$는 표면을 따라 접선 방향으로 작용하는 힘이고 $L$은 그 힘이 작용하는 길이입니다.

이 정의가 단위를 이해하는 가장 분명한 방법입니다. 틀이나 얇은 막대가 액체 표면을 당길 때, $\gamma$는 그 표면을 따라 단위 길이당 얼마의 힘이 작용하는지를 알려줍니다.

표면장력은 단위 면적당 에너지로도 설명할 수 있습니다. 이 설명은 SI 단위계에서 일관되지만, 대부분의 입문 문제에서는 단위 길이당 힘으로 보는 편이 더 쓰기 쉽습니다.

왜 모세관 상승이 일어날까

모세관 현상은 가는 관 속에서 액체가 올라가거나 내려가는 현상입니다. 이는 표면장력과 액체와 관 벽 사이의 접촉각 $\theta$에 모두 의존합니다.

액체가 벽을 적시면 $\theta < 90^\circ$이고 $\cos\theta > 0$이므로 액체가 상승합니다. 깨끗한 유리 속의 물이 대표적인 예입니다.

액체가 벽을 적시지 않으면 $\theta > 90^\circ$이고 $\cos\theta < 0$이므로 액면이 내려갑니다. 유리 속의 수은이 대표적인 예입니다.

반지름이 $r$인 가는 원통형 관에서 평형 상태의 모세관 높이는

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

입니다. 여기서 $\rho$는 액체의 밀도이고 $g$는 중력가속도입니다.

이 식은 평형식입니다. 즉, 표면장력의 수직 성분이 액주 무게와 균형을 이룬 뒤의 최종 높이 차를 나타냅니다.

예제: 물의 모세관 상승

반지름이 다음과 같은 깨끗한 유리 모세관에서 물이 상승한다고 가정합시다.

$$r = 0.50\ \mathrm{mm} = 5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

표면장력은

$$\gamma = 0.072\ \mathrm{N/m}$$

밀도는

$$\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$$

중력가속도는

$$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$$

라고 하겠습니다.

물이 유리를 잘 적신다면 $\theta \approx 0^\circ$이고 $\cos\theta \approx 1$입니다. 모세관 상승 공식을 사용하면

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$ $$h = \frac{2(0.072)(1)}{(1000)(9.8)(5.0 \times 10^{-4})}$$ $$h = \frac{0.144}{4.9} \approx 0.029\ \mathrm{m}$$

따라서 물은 약

$$h \approx 2.9\ \mathrm{cm}$$

만큼 상승합니다.

중요한 경향은 관이 더 가늘수록 상승 높이가 더 커진다는 점입니다. 다른 양이 같다면 $h \propto 1/r$이기 때문입니다.

액적과 비눗방울의 압력 차

곡면을 가진 액체 표면에서는 압력 차가 생깁니다.

구형 액적의 경우

$$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$

비눗방울의 경우

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

입니다.

비눗방울에서 계수가 $2$만큼 더 커지는 이유는 비눗방울에 액체 표면이 두 개 있기 때문입니다. 하나는 안쪽, 다른 하나는 바깥쪽에 있습니다. 반면 단순한 액적은 이런 종류의 액체 표면이 하나뿐입니다.

이 효과는 작은 크기에서 특히 중요합니다. 반지름이 작아질수록 압력 차가 커지기 때문입니다.

표면장력 공식에서 자주 하는 실수

표면장력과 점성을 혼동하기

표면장력은 액체 표면에 관한 개념입니다. 점성은 액체 내부의 흐름 저항에 관한 개념입니다.

접촉각을 말 없이 생략하기

$\cos\theta$를 아무 설명 없이 $1$로 바꾸면 완전 젖음을 가정한 것입니다. 물-유리 문제에서는 괜찮은 근사일 수 있지만, 항상 맞는 것은 아닙니다.

비눗방울에 액적 공식을 쓰기

구형 액적에는 $\Delta p = 2\gamma / r$를, 비눗방울에는 $\Delta p = 4\gamma / r$를 사용하세요.

관의 반지름이 답을 바꾼다는 점을 잊기

공식은 그 반대를 분명히 보여 줍니다. 관의 반지름이 작을수록 상승 또는 하강의 크기는 더 커집니다.

표면장력은 어디에 쓰일까

표면장력은 액적, 기포, 젖음과 코팅, 가는 관에서의 모세관 작용, 세제, 잉크젯 프린팅, 마이크로유체 장치에서 중요합니다.

이들 많은 경우에서 핵심 경쟁은 표면 효과와 중력 또는 압력 효과 사이에서 일어납니다. 그래서 표면장력은 특히 작은 길이 척도에서 더 중요해집니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

예제에서 액체와 접촉각은 그대로 두고 관의 반지름만 두 배로 바꿔 보세요. 계산하기 전에 새로운 높이를 먼저 예측해 보세요. 그런 다음 다른 액체나 다른 접촉각으로 자신만의 문제도 만들어 보세요.