表面張力 — 公式・毛細管現象・応用

表面張力とは、液体の表面が広がるのを妨げ、できるだけ小さい面積になろうとする性質です。物理では通常 $\gamma$ で表し、単位は $\mathrm{N/m}$ です。

直感的にはこう考えます。液体内部の分子は周囲を他の分子に囲まれていますが、表面の分子はそうではありません。このつり合いの崩れによって表面のエネルギーが変わるため、液体は可能なら表面積を小さくしようとします。

何度も出てくる公式は次の3つです。

$$\gamma = \frac{F}{L}$$ $$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$ $$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

1つ目は液体表面に沿った単位長さあたりの力を表します。2つ目は半径 $r$ の球形液滴における圧力差です。3つ目は、平衡状態にある細い円筒管での毛細管上昇の公式です。シャボン玉のように液体表面が2つある場合、圧力差は

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

となります。

それぞれの公式は、対応する条件のもとでのみ使ってください。上の圧力の公式は球形に対するもので、毛細管の公式は平衡状態の細い円筒管に対するものです。

表面張力の物理的な意味

表面張力は、液体の上に実際に膜のようなものが浮かんでいるという意味ではありません。分子間力のはたらきによって、表面が内部とは異なるふるまいを示す結果です。

そのため、小さな液滴はほぼ球形になろうとします。同じ体積なら球が最も表面積が小さいので、重力より表面張力の影響が大きいときにはこの形が有利です。

表面は「張った膜のようにふるまう」とよく言われます。このイメージは便利ですが、あくまでたとえです。原因は分子同士の相互作用であって、実際の弾性膜があるわけではありません。

表面張力の公式と単位

最も基本的な力学的定義は

$$\gamma = \frac{F}{L}$$

です。

ここで $F$ は表面に接して接線方向にはたらく力、$L$ はその力が作用する長さです。

この形で見ると、単位の意味が最もわかりやすくなります。枠や細い板が液体表面を引っ張るとき、$\gamma$ はその表面に沿った単位長さあたりの力を表します。

表面張力は、単位面積あたりのエネルギーとして説明されることもあります。SI単位系ではこの説明とも整合しますが、初学者向けの問題では「単位長さあたりの力」として考えるほうが使いやすいことが多いです。

なぜ毛細管上昇が起こるのか

毛細管現象とは、細い管の中で液体が上がったり下がったりする現象です。これは表面張力だけでなく、液体と管壁のなす接触角 $\theta$ にも依存します。

液体が壁をぬらす場合、$\theta < 90^\circ$ なので $\cos\theta > 0$ となり、液体は上昇します。きれいなガラス中の水が代表例です。

液体が壁をぬらさない場合、$\theta > 90^\circ$ なので $\cos\theta < 0$ となり、液面は下がります。ガラス中の水銀が代表例です。

半径 $r$ の細い円筒管では、平衡時の毛細管高さは

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

で与えられます。

ここで $\rho$ は液体の密度、$g$ は重力加速度です。

これは平衡状態で成り立つ公式です。表面張力の鉛直方向成分が液柱の重さとつり合ったあとの、最終的な高さの差を与えます。

計算例：水の毛細管上昇

半径が

$$r = 0.50\ \mathrm{mm} = 5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

のきれいなガラス製毛細管の中を、水が上昇するとします。

表面張力を

$$\gamma = 0.072\ \mathrm{N/m}$$

密度を

$$\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$$

重力加速度を

$$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$$

とします。

水がガラスをよくぬらすなら、$\theta \approx 0^\circ$ であり、$\cos\theta \approx 1$ です。毛細管上昇の公式を使うと

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$ $$h = \frac{2(0.072)(1)}{(1000)(9.8)(5.0 \times 10^{-4})}$$ $$h = \frac{0.144}{4.9} \approx 0.029\ \mathrm{m}$$

となります。

したがって、水の上昇量はおよそ

$$h \approx 2.9\ \mathrm{cm}$$

です。

重要なのは、管が細いほど上昇量が大きくなることです。ほかの量が同じなら、$h \propto 1/r$ だからです。

液滴とシャボン玉の圧力差

曲がった液体表面では、圧力差が生じます。

球形の液滴では

$$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$

シャボン玉では

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

となります。

泡で係数がさらに $2$ 倍になるのは、シャボン玉には内側と外側の2つの液体表面があるからです。単純な液滴には、この種の液体表面は1つしかありません。

この違いは特に小さなスケールで重要です。半径が小さくなるほど、圧力差は大きくなるからです。

表面張力の公式でよくあるミス

表面張力と粘性を混同する

表面張力は液体表面に関する性質です。粘性は液体内部での流れにくさに関する性質です。

接触角を断りなく省略する

$\cos\theta$ を何も言わずに $1$ に置き換えるのは、完全にぬれると仮定していることになります。水とガラスの問題では近似として妥当なこともありますが、常に正しいとは限りません。

液滴の公式をシャボン玉に使う

球形液滴には $\Delta p = 2\gamma / r$ を使い、シャボン玉には $\Delta p = 4\gamma / r$ を使います。

管の半径が答えを変えることを忘れる

公式はその逆を示しています。管の半径が小さいほど、上昇または下降の大きさは大きくなります。

表面張力はどこで使われるか

表面張力は、液滴、泡、ぬれやコーティング、細い管での毛細管作用、洗剤、インクジェット印刷、マイクロ流体デバイスなどで重要です。

こうした多くの場合、主な競合は表面効果と重力効果、あるいは圧力効果の間にあります。そのため、表面張力は特に小さな長さスケールで重要になります。

似た問題に挑戦してみよう

計算例で、液体と接触角はそのままにして管の半径だけを2倍にしてみましょう。計算する前に、新しい高さを予想してみてください。そのあと、別の液体や別の接触角でも自分なりの問題を試してみましょう。