Tension superficielle — formule, capillarité et applications

La tension superficielle est la propriété qui fait qu’une surface liquide résiste à son expansion et tend vers l’aire la plus petite possible. En physique, on la note généralement $\gamma$ et on la mesure en $\mathrm{N/m}$.

L’idée essentielle est la suivante : une molécule à l’intérieur du liquide est entourée de voisines, mais une molécule à la surface ne l’est pas. Ce déséquilibre modifie l’énergie de surface, donc le liquide tend à réduire sa surface quand il le peut.

Trois formules reviennent sans cesse :

$$\gamma = \frac{F}{L}$$ $$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$ $$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

La première donne la force par unité de longueur le long d’une surface liquide. La deuxième donne la différence de pression pour une goutte liquide sphérique de rayon $r$. La troisième est la formule de la montée capillaire pour un tube cylindrique étroit à l’équilibre. Pour une bulle de savon, qui possède deux surfaces liquides, la différence de pression est

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

Utilisez chaque formule uniquement dans sa condition d’application. Les formules de pression ci-dessus valent pour des formes sphériques, et la formule capillaire vaut pour un tube cylindrique étroit à l’équilibre.

Ce que signifie physiquement la tension superficielle

La tension superficielle n’est pas une véritable peau flottant à la surface du liquide. C’est le résultat des forces intermoléculaires, qui font que la surface se comporte différemment du volume du liquide.

C’est pourquoi les petites gouttes tendent à devenir presque sphériques. À volume donné, une sphère a la plus petite aire de surface, donc cette forme est favorisée lorsque la tension superficielle compte davantage que la gravité.

On dit souvent que la surface « se comporte comme un film tendu ». Cette image est utile, mais ce n’est qu’une analogie. La cause réelle est l’interaction moléculaire, pas une véritable membrane élastique.

Formule de la tension superficielle et unités

Dans la définition mécanique la plus simple,

$$\gamma = \frac{F}{L}$$

où $F$ est la force agissant tangentiellement le long de la surface et $L$ est la longueur sur laquelle cette force agit.

C’est la manière la plus claire de comprendre l’unité. Si un cadre ou une lame tire sur une surface liquide, $\gamma$ donne la force par unité de longueur le long de cette surface.

Vous pouvez aussi voir la tension superficielle décrite comme une énergie par unité de surface. Cette description est cohérente en unités SI, mais pour la plupart des problèmes d’introduction, la vision force par longueur est plus facile à utiliser.

Pourquoi la montée capillaire se produit

La capillarité est la montée ou la descente d’un liquide dans un tube étroit. Elle dépend à la fois de la tension superficielle et de l’angle de contact $\theta$ entre le liquide et la paroi du tube.

Si le liquide mouille la paroi, alors $\theta < 90^\circ$ et $\cos\theta > 0$, donc le liquide monte. L’eau dans un verre propre est l’exemple classique.

Si le liquide ne mouille pas la paroi, alors $\theta > 90^\circ$ et $\cos\theta < 0$, donc le niveau du liquide s’abaisse. Le mercure dans le verre est l’exemple classique.

Pour un tube cylindrique étroit de rayon $r$, la hauteur capillaire d’équilibre est

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

où $\rho$ est la masse volumique du liquide et $g$ l’accélération de la pesanteur.

C’est une formule d’équilibre. Elle donne la différence de hauteur finale après que l’effet vertical de la tension superficielle a compensé le poids de la colonne de liquide.

Exemple résolu : montée capillaire de l’eau

Supposons que l’eau monte dans un tube capillaire en verre propre de rayon

$$r = 0.50\ \mathrm{mm} = 5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Prenons pour la tension superficielle

$$\gamma = 0.072\ \mathrm{N/m}$$

pour la masse volumique

$$\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$$

et pour l’accélération de la pesanteur

$$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$$

Si l’eau mouille bien le verre, alors $\theta \approx 0^\circ$ et $\cos\theta \approx 1$. Utilisons la formule de la montée capillaire :

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$ $$h = \frac{2(0.072)(1)}{(1000)(9.8)(5.0 \times 10^{-4})}$$ $$h = \frac{0.144}{4.9} \approx 0.029\ \mathrm{m}$$

Donc l’eau monte d’environ

$$h \approx 2.9\ \mathrm{cm}$$

La tendance importante est qu’un tube plus fin donne une montée plus grande, car $h \propto 1/r$ lorsque les autres grandeurs restent les mêmes.

Différence de pression dans les gouttes et les bulles de savon

Les surfaces liquides courbes créent un saut de pression.

Pour une goutte liquide sphérique,

$$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$

Pour une bulle de savon,

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

Le facteur supplémentaire $2$ pour une bulle apparaît parce qu’une bulle de savon possède deux surfaces liquides, une à l’intérieur et une à l’extérieur. Une simple goutte liquide ne possède qu’une seule surface liquide de ce type.

Cela est surtout important aux petites échelles, car la différence de pression augmente lorsque le rayon diminue.

Erreurs fréquentes avec les formules de tension superficielle

Confondre tension superficielle et viscosité

La tension superficielle concerne la surface du liquide. La viscosité concerne la résistance à l’écoulement à l’intérieur du liquide.

Supprimer l’angle de contact sans le préciser

Si vous remplacez implicitement $\cos\theta$ par $1$, vous supposez un mouillage complet. Cela peut être une approximation raisonnable pour certains problèmes eau-verre, mais ce n’est pas toujours vrai.

Utiliser la formule de la goutte pour une bulle de savon

Utilisez $\Delta p = 2\gamma / r$ pour une goutte sphérique et $\Delta p = 4\gamma / r$ pour une bulle de savon.

Oublier que le rayon du tube change la réponse

La formule montre l’inverse : un rayon de tube plus petit signifie une montée ou un abaissement de plus grande amplitude.

Où la tension superficielle est utilisée

La tension superficielle intervient dans les gouttes, les bulles, le mouillage et l’enduction, l’action capillaire dans les tubes fins, les détergents, l’impression jet d’encre et les dispositifs microfluidiques.

Dans beaucoup de ces cas, la compétition principale oppose les effets de surface à la gravité ou aux effets de pression. C’est pourquoi la tension superficielle devient particulièrement importante aux petites échelles de longueur.

Essayez un problème similaire

Modifiez l’exemple résolu en doublant le rayon du tube tout en gardant le même liquide et le même angle de contact. Prévoyez la nouvelle hauteur avant de la calculer. Ensuite, essayez votre propre version avec un autre liquide ou un autre angle de contact.