แรงตึงผิว — สูตร แคปิลลารี และการประยุกต์ใช้

แรงตึงผิวเป็นสมบัติที่ทำให้ผิวของเหลวต้านการขยายตัวและดึงตัวเองให้มีพื้นที่น้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ ในฟิสิกส์มักเขียนแทนด้วย $\gamma$ และวัดเป็น $\mathrm{N/m}$

แนวคิดแบบสั้น ๆ คือ โมเลกุลที่อยู่ภายในของเหลวจะถูกล้อมรอบด้วยโมเลกุลข้างเคียง แต่โมเลกุลที่ผิวไม่เป็นเช่นนั้น ความไม่สมดุลนี้ทำให้พลังงานของผิวเปลี่ยนไป ดังนั้นของเหลวจึงมีแนวโน้มลดพื้นที่ผิวเมื่อทำได้

มี 3 สูตรที่พบซ้ำบ่อยมาก:

$$\gamma = \frac{F}{L}$$ $$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$ $$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

สูตรแรกให้แรงต่อหนึ่งหน่วยความยาวตามแนวผิวของเหลว สูตรที่สองคือความต่างความดันของหยดของเหลวทรงกลมรัศมี $r$ ส่วนสูตรที่สามคือสูตรการสูงขึ้นแบบแคปิลลารีสำหรับหลอดทรงกระบอกแคบที่อยู่ในสมดุล สำหรับฟองสบู่ซึ่งมีผิวของเหลวสองด้าน ความต่างความดันคือ

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

แต่ละสูตรต้องใช้ภายใต้เงื่อนไขของมัน สูตรความดันด้านบนใช้กับรูปร่างทรงกลม และสูตรแคปิลลารีใช้กับหลอดทรงกระบอกแคบที่อยู่ในสมดุล

ความหมายทางกายภาพของแรงตึงผิว

แรงตึงผิวไม่ใช่เยื่อจริง ๆ ที่ลอยอยู่บนผิวของเหลว แต่มันเป็นผลจากแรงระหว่างโมเลกุลที่ทำให้ผิวมีพฤติกรรมต่างจากส่วนเนื้อของเหลวด้านใน

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมหยดเล็ก ๆ มักมีรูปร่างเกือบเป็นทรงกลม สำหรับปริมาตรที่กำหนด ทรงกลมมีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด ดังนั้นรูปร่างนี้จึงถูกเอื้อให้เกิดขึ้นเมื่อแรงตึงผิวมีบทบาทมากกว่าแรงโน้มถ่วง

คนมักพูดว่าผิวของเหลว “ทำตัวเหมือนแผ่นฟิล์มที่ถูกดึงตึง” ภาพนี้ช่วยให้เข้าใจได้ง่าย แต่ก็ยังเป็นเพียงการเปรียบเทียบเท่านั้น สาเหตุจริงคืออันตรกิริยาระหว่างโมเลกุล ไม่ใช่แผ่นยืดหยุ่นจริง ๆ

สูตรแรงตึงผิวและหน่วย

ในนิยามเชิงกลอย่างง่ายที่สุด

$$\gamma = \frac{F}{L}$$

โดยที่ $F$ คือแรงที่กระทำตามแนวสัมผัสของผิว และ $L$ คือความยาวที่แรงนั้นกระทำ

นี่เป็นวิธีที่ชัดที่สุดในการเข้าใจหน่วย ถ้ากรอบหรือแถบวัสดุดึงผิวของเหลว ค่า $\gamma$ จะบอกแรงต่อหนึ่งหน่วยความยาวตามแนวผิวนั้น

คุณอาจเห็นแรงตึงผิวถูกอธิบายว่าเป็นพลังงานต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ด้วย คำอธิบายนี้สอดคล้องกันในหน่วย SI แต่สำหรับโจทย์พื้นฐานส่วนใหญ่ มุมมองแบบแรงต่อความยาวใช้งานได้ง่ายกว่า

ทำไมจึงเกิดการสูงขึ้นแบบแคปิลลารี

แคปิลลารีคือการที่ของเหลวสูงขึ้นหรือลดลงในหลอดแคบ ปรากฏการณ์นี้ขึ้นอยู่ทั้งกับแรงตึงผิวและมุมสัมผัส $\theta$ ระหว่างของเหลวกับผนังหลอด

ถ้าของเหลวเปียกผนัง จะได้ว่า $\theta < 90^\circ$ และ $\cos\theta > 0$ ดังนั้นของเหลวจึงสูงขึ้น น้ำในแก้วสะอาดเป็นตัวอย่างมาตรฐาน

ถ้าของเหลวไม่เปียกผนัง จะได้ว่า $\theta > 90^\circ$ และ $\cos\theta < 0$ ดังนั้นระดับของเหลวจึงลดลง ปรอทในแก้วเป็นตัวอย่างมาตรฐาน

สำหรับหลอดทรงกระบอกแคบรัศมี $r$ ความสูงแคปิลลารีที่สมดุลคือ

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

โดยที่ $\rho$ คือความหนาแน่นของของเหลว และ $g$ คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง

นี่เป็นสูตรสมดุล มันให้ค่าความต่างระดับสุดท้ายหลังจากผลในแนวดิ่งของแรงตึงผิวสมดุลกับน้ำหนักของคอลัมน์ของเหลวแล้ว

ตัวอย่างทำโจทย์: การสูงขึ้นแบบแคปิลลารีของน้ำ

สมมติว่าน้ำสูงขึ้นในหลอดแคปิลลารีแก้วสะอาดที่มีรัศมี

$$r = 0.50\ \mathrm{mm} = 5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

กำหนดให้แรงตึงผิวเป็น

$$\gamma = 0.072\ \mathrm{N/m}$$

ความหนาแน่นเป็น

$$\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$$

และความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเป็น

$$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$$

ถ้าน้ำเปียกแก้วได้ดี จะได้ว่า $\theta \approx 0^\circ$ และ $\cos\theta \approx 1$ ใช้สูตรการสูงขึ้นแบบแคปิลลารี:

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$ $$h = \frac{2(0.072)(1)}{(1000)(9.8)(5.0 \times 10^{-4})}$$ $$h = \frac{0.144}{4.9} \approx 0.029\ \mathrm{m}$$

ดังนั้นน้ำจะสูงขึ้นประมาณ

$$h \approx 2.9\ \mathrm{cm}$$

แนวโน้มสำคัญคือ หลอดที่เล็กกว่าจะทำให้ระดับสูงขึ้นมากกว่า เพราะ $h \propto 1/r$ เมื่อปริมาณอื่นคงเดิม

ความต่างความดันในหยดของเหลวและฟองสบู่

ผิวของเหลวที่โค้งทำให้เกิดการกระโดดของความดัน

สำหรับหยดของเหลวทรงกลม

$$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$

สำหรับฟองสบู่

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

ตัวประกอบ $2$ ที่เพิ่มขึ้นในกรณีฟองสบู่เกิดจากฟองสบู่มีผิวของเหลวสองด้าน คือด้านในและด้านนอก แต่หยดของเหลวธรรมดามีผิวของเหลวลักษณะนี้เพียงด้านเดียว

เรื่องนี้สำคัญมากขึ้นเมื่อขนาดเล็กลง เพราะความต่างความดันจะเพิ่มขึ้นเมื่อรัศมีลดลง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับสูตรแรงตึงผิว

สับสนระหว่างแรงตึงผิวกับความหนืด

แรงตึงผิวเกี่ยวกับผิวของเหลว ส่วนความหนืดเกี่ยวกับการต้านการไหลภายในของเหลว

ตัดมุมสัมผัสทิ้งโดยไม่บอก

ถ้าคุณแทน $\cos\theta$ ด้วย $1$ ไปเลยโดยไม่กล่าวถึง นั่นหมายความว่าคุณกำลังสมมติให้เปียกผิวอย่างสมบูรณ์ ซึ่งอาจเป็นการประมาณที่ใช้ได้ในบางโจทย์น้ำกับแก้ว แต่ไม่จริงเสมอไป

ใช้สูตรของหยดกับฟองสบู่

ใช้ $\Delta p = 2\gamma / r$ สำหรับหยดทรงกลม และใช้ $\Delta p = 4\gamma / r$ สำหรับฟองสบู่

ลืมว่ารัศมีของหลอดเปลี่ยนคำตอบ

สูตรแสดงตรงกันข้ามอย่างชัดเจน คือรัศมีหลอดที่เล็กลงทำให้ขนาดของการสูงขึ้นหรือการลดลงมากขึ้น

แรงตึงผิวถูกใช้ที่ไหนบ้าง

แรงตึงผิวมีบทบาทในหยดของเหลว ฟอง การเปียกผิวและการเคลือบ การไหลแบบแคปิลลารีในหลอดเล็ก ผงซักฟอก การพิมพ์อิงก์เจ็ต และอุปกรณ์ไมโครฟลูอิดิก

ในหลายกรณีเหล่านี้ การแข่งขันหลักคือระหว่างผลจากผิวกับผลจากแรงโน้มถ่วงหรือความดัน นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมแรงตึงผิวจึงสำคัญเป็นพิเศษในสเกลความยาวที่เล็ก

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ปรับตัวอย่างที่ทำไปแล้วโดยเพิ่มรัศมีของหลอดเป็นสองเท่า แต่คงของเหลวและมุมสัมผัสเดิมไว้ ลองทำนายความสูงใหม่ก่อนคำนวณ จากนั้นลองสร้างโจทย์แบบของคุณเองโดยเปลี่ยนของเหลวหรือเปลี่ยนมุมสัมผัส