Lepkość — definicja, wzór i przykład

Lepkość mierzy, jak silnie płyn przeciwstawia się przepływowi lub przesuwaniu się jednej warstwy względem drugiej. Dla płynu newtonowskiego w prostym przepływie ścinającym standardowa zależność ma postać

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$

gdzie $\tau$ to naprężenie ścinające, $\mu$ to lepkość dynamiczna, a $\frac{du}{dy}$ to gradient prędkości prostopadły do kierunku przepływu.

Intuicyjnie: woda leje się łatwo, ponieważ ma małą lepkość, a miód płynie wolno, ponieważ ma dużą lepkość. Ten wzór wymaga spełnienia określonych warunków, ale główna idea pozostaje taka sama: większa lepkość oznacza większy opór wobec odkształcenia.

Co oznacza lepkość

Lepkość opisuje tarcie wewnętrzne w płynie. Jeśli jedna warstwa płynu próbuje przesunąć się względem drugiej, to właśnie lepkość jest własnością, która przeciwstawia się temu ruchowi ślizgowemu.

Dlatego lepkość ma znaczenie zarówno w cieczach, jak i gazach. Wpływa na to, jak łatwo płyn przepływa, jak duży opór powstaje przy powierzchni oraz ile energii traci się w rzeczywistym ruchu płynu.

Kiedy stosuje się wzór na lepkość

Dla płynu newtonowskiego w prostym przepływie ścinającym naprężenie ścinające jest proporcjonalne do gradientu prędkości:

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$

To równanie często nazywa się prawem lepkości Newtona. Nie oznacza ono, że każdy płyn zachowuje się tak samo w każdej sytuacji. Oznacza, że jeśli płyn jest newtonowski, to stosunek naprężenia ścinającego do szybkości ścinania pozostaje stały, a tą stałą jest $\mu$.

W tym równaniu:

• $\tau$ to naprężenie ścinające
• $\mu$ to lepkość dynamiczna
• $\frac{du}{dy}$ to szybkość, z jaką prędkość zmienia się od jednej warstwy do następnej

Jednostką SI lepkości dynamicznej jest $\mathrm{Pa \cdot s}$, co jest równoważne $\mathrm{N \cdot s/m^2}$ lub $\mathrm{kg/(m \cdot s)}$.

Lepkość dynamiczna a lepkość kinematyczna

Lepkość dynamiczna $\mu$ mówi, jakie naprężenie ścinające jest potrzebne dla danej szybkości ścinania. Lepkość kinematyczna $\nu$ uwzględnia dodatkowo gęstość:

$$\nu = \frac{\mu}{\rho}$$

gdzie $\rho$ jest gęstością płynu.

To ma znaczenie, ponieważ dwa płyny mogą mieć tę samą lepkość dynamiczną, ale różne gęstości, więc ich lepkości kinematyczne nie muszą być takie same. Lepkość kinematyczna jest szczególnie często używana w tabelach przepływu płynów i w obliczeniach liczby Reynoldsa.

Przykład obliczeniowy: naprężenie ścinające między dwiema płytami

Załóżmy, że płyn newtonowski wypełnia szczelinę między dwiema dużymi równoległymi płytami. Dolna płyta jest nieruchoma, górna porusza się z prędkością $0.30\ \mathrm{m/s}$, a odległość między płytami wynosi $0.005\ \mathrm{m}$. Niech lepkość dynamiczna płynu będzie równa $\mu = 0.80\ \mathrm{Pa \cdot s}$.

Jeśli założymy prawie liniowy profil prędkości w szczelinie, to

$$\frac{du}{dy} = \frac{0.30}{0.005} = 60\ \mathrm{s^{-1}}$$

Teraz użyjmy zależności na lepkość:

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$ $$\tau = (0.80)(60)$$ $$\tau = 48\ \mathrm{Pa}$$

Zatem płyn potrzebuje naprężenia ścinającego równego $48\ \mathrm{Pa}$, aby utrzymać taki ruch. Gdyby w tym samym układzie użyto większej lepkości, wymagane naprężenie ścinające wzrosłoby w tej samej proporcji.

Ten przykład wyraźnie pokazuje rolę lepkości: łączy ona szybkość przesuwania się sąsiednich warstw z tym, jak duże naprężenie ścinające jest potrzebne, aby utrzymać ich ruch.

Częste błędy w zadaniach o lepkości

Traktowanie lepkości jako jednego uniwersalnego wzoru

Równanie $\tau = \mu \frac{du}{dy}$ jest modelem dla płynów newtonowskich. Wiele rzeczywistych płynów, takich jak krew, farba czy pasta do zębów, może zachowywać się nienewtonowsko, więc zależność między naprężeniem a szybkością ścinania nie zawsze jest tak prosta.

Mylenie lepkości dynamicznej i kinematycznej

$\mu$ i $\nu$ to różne wielkości o różnych jednostkach. Jeśli w zadaniu znaczenie ma gęstość, upewnij się, że używasz właściwej z nich.

Pomijanie warunku stojącego za użytym wzorem

Standardowy wzór na ścinanie najłatwiej stosować w prostym przepływie ścinającym, na przykład dla płynu między bliskimi, poruszającymi się warstwami lub płytami. W bardziej złożonych przepływach ta sama podstawowa idea pozostaje prawdziwa, ale matematyka może być bardziej skomplikowana.

Zakładanie, że duża lepkość zawsze oznacza małą prędkość

Większa lepkość często utrudnia przepływ, ale prędkość zależy też od różnicy ciśnień, geometrii, grawitacji i warunków brzegowych. Lepkość jest tylko częścią całego obrazu, a nie jego całością.

Gdzie lepkość jest wykorzystywana w fizyce i inżynierii

Lepkość ma znaczenie w przepływie w rurach, smarowaniu, przepływie krwi, aerodynamice, procesach wytwórczych i geofizyce. Inżynierowie uwzględniają ją przy szacowaniu oporu, strat ciśnienia, rodzaju przepływu oraz tego, jak płyn będzie zachowywał się przy powierzchniach.

Pomaga też wyjaśniać codzienne obserwacje, na przykład dlaczego olej silnikowy zachowuje się inaczej w różnych temperaturach i dlaczego syrop rozlewa się znacznie wolniej niż woda.

Spróbuj podobnego zadania

Zachowaj ten sam przykład z płytami, ale podwój szerokość szczeliny, pozostawiając tę samą prędkość górnej płyty i ten sam płyn. Przewidź, co stanie się z $\frac{du}{dy}$ i naprężeniem ścinającym przed wykonaniem obliczeń, a potem sprawdź, czy obie wielkości zmniejszą się o połowę.