Tensione superficiale — Formula, capillarità e applicazioni

La tensione superficiale è la proprietà che fa sì che la superficie di un liquido resista all'espansione e tenda verso l'area più piccola possibile. In fisica si indica di solito con $\gamma$ e si misura in $\mathrm{N/m}$.

L'idea di base è questa: una molecola all'interno del liquido è circondata da molecole vicine, mentre una molecola sulla superficie non lo è. Questo squilibrio modifica l'energia della superficie, quindi il liquido tende a ridurre l'area superficiale quando può.

Tre formule compaiono continuamente:

$$\gamma = \frac{F}{L}$$ $$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$ $$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

La prima fornisce la forza per unità di lunghezza lungo una superficie liquida. La seconda dà la differenza di pressione per una goccia liquida sferica di raggio $r$. La terza è la formula della risalita capillare per un tubo cilindrico stretto in equilibrio. Per una bolla di sapone, che ha due superfici liquide, la differenza di pressione è

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

Usa ogni formula solo nelle condizioni in cui vale. Le formule della pressione sopra riportate valgono per forme sferiche, mentre la formula della capillarità vale per un tubo cilindrico stretto in equilibrio.

Che cosa significa fisicamente la tensione superficiale

La tensione superficiale non è una vera e propria pellicola che galleggia sopra il liquido. È il risultato delle forze intermolecolari, che fanno comportare la superficie in modo diverso rispetto al volume del liquido.

Per questo le piccole gocce tendono a diventare quasi sferiche. A parità di volume, una sfera ha l'area superficiale minima, quindi questa forma è favorita quando la tensione superficiale conta più della gravità.

Spesso si dice che la superficie "si comporta come una pellicola tesa". Questa immagine è utile, ma resta solo un'analogia. La causa è l'interazione molecolare, non una vera membrana elastica.

Formula della tensione superficiale e unità di misura

Nella definizione meccanica più semplice,

$$\gamma = \frac{F}{L}$$

dove $F$ è la forza che agisce tangenzialmente lungo la superficie e $L$ è la lunghezza lungo cui tale forza agisce.

Questo è il modo più chiaro per capire l'unità di misura. Se un telaio o una lamina tira una superficie liquida, $\gamma$ indica la forza per unità di lunghezza lungo quella superficie.

Puoi anche trovare la tensione superficiale descritta come energia per unità di area. Questa descrizione è coerente nelle unità SI, ma per la maggior parte dei problemi introduttivi è più facile usare l'idea di forza per unità di lunghezza.

Perché avviene la risalita capillare

La capillarità è la risalita o l'abbassamento di un liquido in un tubo stretto. Dipende sia dalla tensione superficiale sia dall'angolo di contatto $\theta$ tra il liquido e la parete del tubo.

Se il liquido bagna la parete, allora $\theta < 90^\circ$ e $\cos\theta > 0$, quindi il liquido risale. L'acqua nel vetro pulito è l'esempio classico.

Se il liquido non bagna la parete, allora $\theta > 90^\circ$ e $\cos\theta < 0$, quindi il livello del liquido si abbassa. Il mercurio nel vetro è l'esempio classico.

Per un tubo cilindrico stretto di raggio $r$, l'altezza capillare di equilibrio è

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$

dove $\rho$ è la densità del liquido e $g$ è l'accelerazione di gravità.

Questa è una formula di equilibrio. Fornisce la differenza finale di altezza dopo che l'effetto verticale della tensione superficiale bilancia il peso della colonna di liquido.

Esempio svolto: risalita capillare dell'acqua

Supponiamo che l'acqua risalga in un tubo capillare di vetro pulito di raggio

$$r = 0.50\ \mathrm{mm} = 5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Prendi come tensione superficiale

$$\gamma = 0.072\ \mathrm{N/m}$$

densità

$$\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$$

e accelerazione di gravità

$$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$$

Se l'acqua bagna bene il vetro, allora $\theta \approx 0^\circ$ e $\cos\theta \approx 1$. Usa la formula della risalita capillare:

$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$ $$h = \frac{2(0.072)(1)}{(1000)(9.8)(5.0 \times 10^{-4})}$$ $$h = \frac{0.144}{4.9} \approx 0.029\ \mathrm{m}$$

Quindi l'acqua risale di circa

$$h \approx 2.9\ \mathrm{cm}$$

L'andamento importante è che un tubo più piccolo produce una risalita maggiore, perché $h \propto 1/r$ quando le altre grandezze restano uguali.

Differenza di pressione in gocce e bolle di sapone

Le superfici liquide curve generano un salto di pressione.

Per una goccia liquida sferica,

$$\Delta p = \frac{2\gamma}{r}$$

Per una bolla di sapone,

$$\Delta p = \frac{4\gamma}{r}$$

Il fattore aggiuntivo $2$ nel caso della bolla compare perché una bolla di sapone ha due superfici liquide, una interna e una esterna. Una semplice goccia liquida ha invece una sola superficie liquida di questo tipo.

Questo effetto conta soprattutto su piccola scala, perché la differenza di pressione aumenta al diminuire del raggio.

Errori comuni con le formule della tensione superficiale

Confondere tensione superficiale e viscosità

La tensione superficiale riguarda la superficie del liquido. La viscosità riguarda la resistenza al flusso all'interno del liquido.

Trascurare l'angolo di contatto senza dirlo

Se sostituisci implicitamente $\cos\theta$ con $1$, stai assumendo bagnamento completo. Può essere un'approssimazione ragionevole per alcuni problemi acqua-vetro, ma non è sempre vera.

Usare la formula della goccia per una bolla di sapone

Usa $\Delta p = 2\gamma / r$ per una goccia sferica e $\Delta p = 4\gamma / r$ per una bolla di sapone.

Dimenticare che il raggio del tubo cambia la risposta

La formula mostra il contrario: un raggio del tubo più piccolo significa un valore maggiore, in modulo, della risalita o dell'abbassamento.

Dove si usa la tensione superficiale

La tensione superficiale è importante nelle gocce, nelle bolle, nel bagnamento e nei rivestimenti, nell'azione capillare nei tubi sottili, nei detergenti, nella stampa a getto d'inchiostro e nei dispositivi microfluidici.

In molti di questi casi, la competizione principale è tra gli effetti superficiali e quelli dovuti alla gravità o alla pressione. Per questo la tensione superficiale diventa particolarmente importante alle piccole scale di lunghezza.

Prova un problema simile

Modifica l'esempio svolto raddoppiando il raggio del tubo e mantenendo lo stesso liquido e lo stesso angolo di contatto. Prevedi la nuova altezza prima di calcolarla. Poi prova una tua variante con un liquido diverso o con un angolo di contatto diverso.