Rozkład dwumianowy — wzór, warunki i przykład

Rozkład dwumianowy podaje prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach. Używaj go tylko wtedy, gdy każda próba ma dwa możliwe wyniki dla interesującego cię zdarzenia, próby są niezależne, a prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje za każdym razem takie samo.

Jeśli choć jeden z tych warunków nie jest spełniony, obliczenia mogą wyglądać poprawnie, ale sam model będzie błędny.

Co oznacza rozkład dwumianowy

Załóżmy, że powtarzasz ten sam rodzaj próby $n$ razy. W każdej próbie jeden wynik oznaczasz jako sukces, a drugi jako porażkę.

Jeśli prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie wynosi $p$, to zmienna losowa $X$, czyli liczba sukcesów, może mieć rozkład dwumianowy.

Często zapisuje się to jako

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

Ten zapis oznacza:

• $n$ to liczba prób
• $p$ to prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie
• $X$ zlicza, ile sukcesów wystąpiło

Jest to model zliczający. Nie pyta, w której próbie wystąpił sukces. Pyta, ile sukcesów było łącznie.

Wzór na rozkład dwumianowy

Dla dokładnie $k$ sukcesów prawdopodobieństwo wynosi

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Każda część pełni określoną rolę:

• $\binom{n}{k}$ zlicza, na ile sposobów można rozmieścić $k$ sukcesów wśród $n$ prób
• $p^k$ daje prawdopodobieństwo tych $k$ sukcesów
• $(1-p)^{n-k}$ daje prawdopodobieństwo pozostałych porażek

Wzór działa dla $k=0,1,2,\dots,n$.

Kiedy można użyć wzoru dwumianowego

Model dwumianowy stosujemy tylko wtedy, gdy wszystkie te warunki są spełnione:

Ustalona liczba prób

Z góry wiesz, ile będzie prób. Na przykład rzucenie monetą $8$ razy spełnia ten warunek.

Dwa wyniki w każdej próbie

Dla śledzonego zdarzenia każdą próbę trzeba zaklasyfikować jako sukces albo porażkę. Rzut kostką też może pasować, jeśli zdefiniujesz sukces jako na przykład „wyrzucenie $6$”.

Niezależne próby

Jedna próba nie powinna zmieniać prawdopodobieństwa w następnej. Losowanie ze zwracaniem może spełniać ten warunek. Losowanie bez zwracania z małego zbioru zwykle go nie spełnia.

Stałe prawdopodobieństwo sukcesu

Wartość $p$ musi być taka sama w każdej próbie. Jeśli szansa zmienia się za każdym razem, prosty model dwumianowy nie jest odpowiedni.

Przykład: dokładnie 3 orły w 5 rzutach

Załóżmy, że obciążona moneta wypada orłem z prawdopodobieństwem $0.6$. Rzucasz nią $5$ razy. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $3$ orłów?

Niech orzeł będzie zdarzeniem sukcesu. Wtedy

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

Użyj wzoru:

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

Teraz oblicz każdą część:

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

Zatem

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $3$ orłów wynosi $0.3456$, czyli $34.56\%$.

Dlaczego model dwumianowy jest tutaj poprawny? Doświadczenie ma ustalone $n$, dwa wyniki w każdym rzucie, niezależne próby i to samo prawdopodobieństwo $p=0.6$ w każdym rzucie.

Szybki sposób dla „co najmniej jeden”

W pytaniach typu „co najmniej jeden sukces” dopełnienie jest często szybsze niż dodawanie wielu składników.

Na przykład, jeśli $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$, to

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

To działa, ponieważ „co najmniej jeden sukces” jest dopełnieniem zdarzenia „zero sukcesów”.

Częste błędy w zadaniach o rozkładzie dwumianowym

Ignorowanie warunków

Częstym błędem jest używanie wzoru dwumianowego wtedy, gdy próby nie są niezależne. Klasyczny przykład to losowanie elementów bez zwracania z małego zbioru przy założeniu, że $p$ się nie zmienia.

Błędne rozumienie słowa „sukces”

W zadaniu dwumianowym sukces nie musi oznaczać czegoś dobrego. Oznacza tylko wynik, który zdecydowałeś się zliczać.

Mylenie „dokładnie”, „co najmniej” i „co najwyżej”

Te sformułowania prowadzą do różnych obliczeń nawet w tym samym doświadczeniu. „Dokładnie $3$” oznacza jeden składnik, „co najmniej $3$” oznacza kilka składników, a „co najwyżej $3$” oznacza inną sumę.

Gdzie stosuje się rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy pojawia się wtedy, gdy zliczasz powtarzające się wyniki typu tak/nie, takie jak wadliwy vs. niewadliwy, zaliczone vs. niezaliczone, kliknięcie vs. brak kliknięcia albo orzeł vs. reszka.

Jest przydatny w kontroli jakości, doborze prób w badaniach ankietowych przy odpowiednich założeniach, zagadnieniach niezawodności oraz w podstawowych modelach prawdopodobieństwa w statystyce.

Spróbuj podobnego zadania

Ułóż własną wersję z $8$ rzutami monetą, gdzie $p=0.4$. Najpierw oblicz $P(X=2)$, a potem znajdź $P(X \ge 1)$, korzystając z dopełnienia. Jeśli chcesz inny przypadek, porównaj, co się zmienia, gdy próby przestają być niezależne.