Prawdopodobieństwo — podstawy i wzory

Prawdopodobieństwo mówi, jak bardzo prawdopodobne jest zajście danego zdarzenia. W prostych zadaniach zwykle zapisuje się je na skali od $0$ do $1$, gdzie $0$ oznacza niemożliwe, a $1$ oznacza pewne.

Gdy wyniki są jednakowo prawdopodobne, stosuje się podstawowy wzór na prawdopodobieństwo:

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

Ten warunek ma znaczenie. Ten iloraz działa w przypadkach takich jak uczciwa kostka albo dobrze potasowana talia kart. Nie działa automatycznie wtedy, gdy niektóre wyniki są bardziej prawdopodobne od innych.

Definicja prawdopodobieństwa: wyniki i zdarzenia

Wynik to jeden możliwy rezultat. Zdarzenie to zbiór wyników, które nas interesują.

Na przykład przy rzucie uczciwą kostką wyrzucenie $4$ jest jednym wynikiem. Wyrzucenie liczby parzystej jest zdarzeniem, ponieważ obejmuje $2$, $4$ i $6$.

Jeśli kostka jest uczciwa, to prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej wynosi:

$$P(\text{even}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

To znaczy, że w idealnym modelu uczciwej kostki zdarzenie zachodzi w połowie przypadków. Prawdopodobieństwo to precyzyjny sposób opisywania niepewności, a nie tylko wzór do zapamiętania.

Podstawowe wzory na prawdopodobieństwo, które warto znać

Podstawowy wzór dla jednakowo prawdopodobnych wyników

Używaj

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

tylko wtedy, gdy każdy wynik jest jednakowo prawdopodobny.

Reguła dopełnienia

Czasem łatwiej jest obliczyć szansę, że zdarzenie nie zajdzie:

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Jest to szczególnie przydatne przy sformułowaniach takich jak „co najmniej jedno” albo „nie”.

Reguła dodawania

Aby obliczyć prawdopodobieństwo, że zajdzie $A$ lub $B$, użyj:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Odejmujesz część wspólną, ponieważ wyniki należące do obu zdarzeń zostałyby inaczej policzone dwa razy.

Jeśli zdarzenia są rozłączne, to $P(A \cap B) = 0$, więc wzór przyjmuje postać:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Reguła mnożenia

Dla zdarzeń niezależnych:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

Jeśli drugie zdarzenie zależy od pierwszego, zamiast tego użyj prawdopodobieństwa warunkowego:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$$

Warunek jest tutaj najważniejszy. Nie mnoż bez zastanowienia, jeśli niezależność nie jest uzasadniona.

Przykład: prawdopodobieństwo co najmniej jednej $6$ w dwóch rzutach

Załóżmy, że rzucasz uczciwą kostką dwa razy. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej $6$?

To dobry moment, aby użyć reguły dopełnienia. Zamiast liczyć wszystkie przypadki z $6$, najpierw znajdź prawdopodobieństwo, że nie wypadnie żadna $6$.

W jednym rzucie:

$$P(\text{no }6) = \frac{5}{6}$$

Ponieważ oba rzuty są niezależne, prawdopodobieństwo braku $6$ w obu rzutach wynosi:

$$P(\text{no }6\text{ on both rolls}) = \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$

Teraz użyj dopełnienia:

$$P(\text{at least one }6) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

Zatem prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej $6$ w dwóch rzutach wynosi:

$$\frac{11}{36}$$

Ten przykład pokazuje jednocześnie dwie ważne idee: niezależność pozwala mnożyć, a zadania typu „co najmniej jedno” najczęściej najłatwiej rozwiązać przez dopełnienie.

Typowe błędy w zadaniach z prawdopodobieństwa

Jednym z częstych błędów jest używanie wzoru ilorazowego wtedy, gdy wyniki nie są jednakowo prawdopodobne. Wzór $P(A) = \frac{\text{favorable}}{\text{total}}$ działa tylko wtedy, gdy każdy wynik ma taką samą szansę.

Innym błędem jest dodawanie prawdopodobieństw zdarzeń, które mają część wspólną, bez odjęcia tej części wspólnej. Jeśli jeden wynik należy do obu zdarzeń, zwykłe dodanie daje zbyt dużą wartość.

Uczniowie często mylą też „i” z „lub”. W rachunku prawdopodobieństwa „i” zwykle oznacza część wspólną, czyli $A \cap B$, a „lub” oznacza sumę zdarzeń, czyli $A \cup B$.

Ostatnim częstym błędem jest mnożenie zdarzeń, które nie są niezależne. Jeśli jeden wynik zmienia szansę następnego, potrzebny jest krok z prawdopodobieństwem warunkowym.

Gdzie stosuje się wzory na prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo stosuje się wszędzie tam, gdzie rozumuje się w warunkach niepewności. Prognozy pogody, testy medyczne, ubezpieczenia, kontrola jakości, sondaże i gry wszystkie się na nim opierają.

Dokładny model zależy od sytuacji. W niektórych zadaniach wyniki są jednakowo prawdopodobne, a w innych korzysta się z danych, założeń lub częstości empirycznych. Wzory nadal pomagają, ale tylko wtedy, gdy ich warunki pasują do danego problemu.

Spróbuj podobnego zadania z prawdopodobieństwa

Spróbuj wylosować jedną kartę ze standardowej talii i obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kiera. Następnie zmień pytanie na „kier lub król” i zdecyduj, czy trzeba użyć reguły dodawania.

Jeśli chcesz sprawdzić podobny układ po samodzielnym rozwiązaniu, wpisz własną wersję do solvera matematycznego i porównaj najpierw definicje zdarzeń, a dopiero potem końcowy wynik.