演算の順序とは、数式の中で何を先に計算するかを決めるルールです。これにより、誰が計算しても同じ答えになります。PEMDAS や BODMAS では、まずグループ化の記号を簡単にし、次に指数を計算し、その後に掛け算と割り算を左から右へ、最後に足し算と引き算を左から右へ行います。
1つだけ覚えるなら、これを覚えてください。掛け算と割り算は同じ優先順位で、足し算と引き算も同じ優先順位です。同じ段階の中では、左から右へ進みます。
PEMDAS と BODMAS は同じルールを表します
PEMDAS は Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction の略です。BODMAS では、Parentheses と Exponents の代わりに Brackets と Orders を使います。ですが、その背後にあるルールは同じです。
混乱しやすいのは、頭字語の真ん中の部分です。掛け算と割り算は1つの優先順位の段階なので、左から見て先に出てきた方を先に計算します。足し算と引き算も同じく1つの優先順位の段階なので、ここでも左から右へ計算します。
つまり、PEMDAS は 「常に掛け算を割り算より先にする」 という意味ではありません。意味しているのは、「掛け算・割り算の段階を順番どおりに終える」 ということです。
演算の順序を4つの手順で確認する
- かっこなどのグループ化の記号の中を簡単にする。
- 指数を計算する。
- 掛け算と割り算を左から右へ行う。
- 足し算と引き算を左から右へ行う。
グループ化の記号が入れ子になっている場合は、いちばん内側から始めて外側へ進みます。分数線もグループ化の働きをします。なぜなら、分子全体と分母全体をひとまとまりとして扱うからです。
例題：PEMDAS を順番に使ってみる
次を計算します。
まず、かっこの中から計算します。
次に指数を計算します。
その後、割り算と掛け算を左から右へ行います。
したがって、式は
となります。
次に掛け算をします。
最後に引き算をします。
したがって、
です。
この例は、よくある落とし穴をはっきり示しています。もし先に を計算すると、掛け算・割り算の段階での「左から右へ」というルールを変えてしまうことになります。
演算の順序でよくある間違い
よくある間違いの1つは、PEMDAS を上から下へ厳密に1段ずつ進む階段のように読んでしまうことです。 では、左から見て先にあるのは割り算なので、先に割ります。したがって答えは ではなく です。
もう1つの間違いは、足し算を引き算より先にしなければならない、あるいは引き算を足し算より先にしなければならないと考えることです。 では、左から右へ計算して になります。
また、多くの生徒は途中で式を書き直す手順を省いてしまいます。すると、符号を落としたり、指数を見落としたり、早すぎる段階で計算してしまったりしやすくなります。各段階のあとで式を書き直すのは数秒余分にかかりますが、多くのミスを防げます。
このルールを使う場面
演算の順序は、1つの式の中に複数の演算が混ざっているときに使います。たとえば、学校の算数や数学、代数、理科の公式、表計算ソフトの計算、電卓への入力などです。
プログラミング言語でも演算子の優先順位が使われますが、使う記号は言語やツールによって異なることがあります。それでも、基本の考え方は同じです。いくつかの演算を他より先にまとめて扱うことで、式を一貫して解釈できるようにします。
次に進む前の簡単な確認
計算が終わったら、次の2つを自分に問いかけてみましょう。
- 基本の演算に入る前に、グループ化の記号と指数を先に処理したか。
- 掛け算・割り算の段階と、足し算・引き算の段階で、左から右へ進んだか。
この2つの答えがどちらも「はい」なら、式の組み立てはおそらく正しくできています。
似た問題に挑戦してみよう
次を試してみましょう。
1つの段階ずつ解いて、掛け算の前に割り算をしているかを確認してください。あとで手順を確かめたいなら、solver で自分の式を試して、中間の行まで見比べてみましょう。最終的な答えだけを見るのではなく、途中の流れも確認することが大切です。