Prawa działań na potęgach — wzory i przykłady

Prawa działań na potęgach mówią, co robić z potęgami podczas mnożenia, dzielenia albo podnoszenia potęgi do kolejnej potęgi. Jeśli rozpoznasz, z jaką strukturą masz do czynienia, większość zadań z potęgami da się uprościć w kilku krokach.

Oto najważniejsze prawa działań na potęgach:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$ $$a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \ne 0)$$

Nie wszystkie te prawa mają ten sam warunek. Warunek niezerowości ma znaczenie zawsze wtedy, gdy pojawia się dzielenie.

Co oznacza wykładnik potęgi

Wykładnik mówi, ile razy podstawa występuje jako czynnik. Na przykład

$$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$$

To powtarzane mnożenie wyjaśnia, dlaczego przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodają. Łączysz po prostu grupy tych samych czynników.

Najważniejsze prawa działań na potęgach z przykładami

Prawo mnożenia potęg o tej samej podstawie

Jeśli podstawa jest taka sama, dodaj wykładniki:

$$x^3 \cdot x^5 = x^8$$

To działa, ponieważ łącznie masz $3+5$ czynników równych $x$.

Prawo dzielenia potęg o tej samej podstawie

Jeśli podstawa jest taka sama i nie jest równa zeru, odejmij wykładniki:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^5$$

Możesz myśleć o tym jak o skracaniu wspólnych czynników.

Potęga potęgi

Gdy potęga jest podnoszona do kolejnej potęgi, pomnóż wykładniki:

$$(z^4)^3 = z^{12}$$

To jest wielokrotne mnożenie powtarzanego mnożenia.

Potęga iloczynu lub ilorazu

Rozdziel wykładnik na mnożenie i dzielenie:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

Wykładnik zerowy i ujemny

Dla każdej niezerowej podstawy

$$a^0 = 1$$

oraz

$$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$$

Ujemny wykładnik nie oznacza, że wynik jest ujemny. Oznacza „weź odwrotność”.

Przykład rozwiązany: uprość wyrażenie, stosując prawa działań na potęgach

Uprość

$$\frac{(3x^2)^2 \cdot x^3}{9x}$$

Zacznij od nawiasu:

$$(3x^2)^2 = 3^2 (x^2)^2 = 9x^4$$

Teraz wyrażenie ma postać

$$\frac{9x^4 \cdot x^3}{9x}$$

Zastosuj prawo mnożenia w liczniku:

$$9x^4 \cdot x^3 = 9x^7$$

Otrzymujesz więc

$$\frac{9x^7}{9x} = x^6$$

Ten jeden przykład pokazuje trzy częste działania: rozdzielenie potęgi na iloczyn, mnożenie wykładników w potędze potęgi oraz odejmowanie wykładników przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie.

Częsty błąd: wykładniki nie rozdzielają się na dodawanie

Prawa działań na potęgach nie działają tak samo dla dodawania. Ogólnie

$$(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$$

Na przykład

$$(2+3)^2 = 25$$

ale

$$2^2 + 3^2 = 13$$

To bardzo częsty błąd. Prawo mnożenia dotyczy mnożenia, a nie dodawania.

Wykładniki ułamkowe wymagają warunku

Możesz też spotkać wykładniki takie jak $a^{1/n}$. Dla dodatnich liczb rzeczywistych $a$

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

a bardziej ogólnie

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

To jest przydatne, ale dziedzina ma znaczenie. W początkowej algebrze najbezpieczniej w zbiorze liczb rzeczywistych stosować tę regułę wtedy, gdy $a > 0$.

Częste błędy przy stosowaniu praw działań na potęgach

1. Dodawanie wykładników przy dzieleniu. W wyrażeniu $\frac{x^8}{x^3}$ poprawny wynik to $x^5$, a nie $x^{11}$.
2. Łączenie wykładników, gdy podstawy nie są takie same. $x^2 \cdot y^2 = (xy)^2$, a nie $x^4$.
3. Błędne odczytanie ujemnego wykładnika. $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$, a nie $-x^2$.
4. Stosowanie $a^0 = 1$, gdy $a = 0$. Wyrażenie $0^0$ wymaga osobnego omówienia i nie jest objęte zwykłą regułą.
5. Rozdzielanie wykładników na dodawanie. Ogólnie $(a+b)^n$ nie upraszcza się do $a^n+b^n$.

Gdzie stosuje się prawa działań na potęgach

Prawa działań na potęgach pojawiają się w algebrze, notacji naukowej, działaniach na wielomianach, równaniach wykładniczych i logarytmach. Pojawiają się też później w analizie matematycznej, gdy potęgi trzeba przekształcić przed różniczkowaniem lub całkowaniem.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj uprościć

$$\frac{(2y^3)^2}{4y}$$

Następnie sprawdź, czy w każdym kroku użyto rzeczywistej reguły, a nie skrótu myślowego. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, wypróbuj własną wersję w solverze i porównaj, jak wykładniki zmieniają się linijka po linijce.