Jenis Bilangan — Asli, Cacah, Bulat, Rasional, Irasional

Jenis bilangan memberi tahu Anda bilangan seperti apa yang sedang dilihat: asli, cacah, bulat, rasional, atau irasional. Gagasan utamanya sederhana: beberapa himpunan berada di dalam himpunan yang lebih besar, jadi satu bilangan bisa termasuk ke beberapa kategori sekaligus.

Ada satu hal yang langsung penting: beberapa buku pelajaran memasukkan $0$ ke dalam bilangan asli, dan beberapa tidak. Bilangan cacah biasanya berarti $0, 1, 2, 3, \dots$, jadi $0$ adalah bilangan yang paling mungkin bergantung pada konvensi yang dipakai.

Bagaimana Himpunan Bilangan Saling Terkait

Gambaran bilangan real yang umum adalah:

$$\text{natural} \subseteq \text{whole} \subseteq \text{integers} \subseteq \text{rational} \subseteq \text{real}$$

Bilangan irasional juga termasuk bilangan real, tetapi bukan bilangan rasional. Jadi, bilangan real terbagi menjadi dua kelompok: rasional dan irasional.

Itulah sebabnya satu bilangan bisa memiliki beberapa label. Misalnya, $4$ adalah bilangan asli, cacah, bulat, dan rasional karena $4 = 4/1$.

Bilangan Asli, Cacah, Bulat, Rasional, dan Irasional

Bilangan Asli

Bilangan asli adalah bilangan untuk menghitung. Dalam banyak pelajaran, itu berarti

$$1, 2, 3, 4, \dots$$

Beberapa pelajaran juga memasukkan $0$. Jika guru atau buku Anda tidak menjelaskannya, periksa dulu sebelum mengklasifikasikan $0$ sebagai bilangan asli.

Bilangan Cacah

Bilangan cacah biasanya adalah

$$0, 1, 2, 3, 4, \dots$$

Bilangan cacah mencakup nol, tetapi tidak mencakup bilangan negatif atau pecahan.

Bilangan Bulat

Bilangan bulat mencakup bilangan cacah negatif, nol, dan bilangan cacah positif:

$$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$$

Bilangan bulat tidak memiliki bagian pecahan, jadi $-7$ dan $0$ adalah bilangan bulat, tetapi $3/2$ bukan.

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah setiap bilangan yang dapat ditulis sebagai

$$\frac{a}{b}$$

dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat dan $b \ne 0$.

Ini mencakup pecahan seperti $\frac{3}{4}$, bilangan bulat seperti $-2$ karena $-2 = -2/1$, dan desimal yang berhenti atau berulang, seperti $0.5$ dan $0.333\dots$.

Bilangan Irasional

Bilangan irasional tidak dapat ditulis sebagai perbandingan dua bilangan bulat.

Untuk bilangan real, itu berarti bentuk desimalnya tidak berhenti dan tidak berulang dengan pola tetap. Contoh yang umum adalah $\sqrt{2}$ dan $\pi$.

Contoh Dikerjakan: Cara Mengklasifikasikan Bilangan

Gunakan contoh yang mewakili untuk melihat polanya dengan cepat:

Bilangan	Klasifikasi	Alasan
$0$	cacah, bulat, rasional	$0 = 0/1$, jadi bilangan ini rasional. Bilangan ini juga cacah dan bulat. Bilangan ini hanya termasuk asli jika pelajaran Anda memasukkan $0$.
$-3$	bulat, rasional	Bilangan ini tidak memiliki bagian pecahan, jadi termasuk bilangan bulat. Selain itu, $-3 = -3/1$, jadi bilangan ini rasional.
$\frac\{7\}\{4\}$	rasional	Bilangan ini sudah ditulis sebagai perbandingan dua bilangan bulat dengan penyebut bukan nol, jadi bilangan ini rasional tetapi bukan bilangan bulat.
$\sqrt\{2\}$	irasional	Bilangan ini tidak dapat ditulis sebagai pecahan dari dua bilangan bulat, jadi bilangan ini irasional.

Ini menunjukkan gagasan utamanya: klasifikasi ditentukan oleh apakah bilangan itu memenuhi definisi, bukan oleh seberapa rumit tampilannya.

Uji Cepat untuk Desimal

Jika suatu desimal berhenti, maka bilangan itu rasional. Misalnya,

$$0.125 = \frac{1}{8}$$

Jika suatu desimal berulang, maka bilangan itu juga rasional. Misalnya,

$$0.777\dots = \frac{7}{9}$$

Jika desimal dari suatu bilangan real tidak berhenti dan tidak berulang, maka bilangan itu irasional.

Uji ini hanya bekerja jika Anda mengetahui polanya. Desimal yang hanya terlihat panjang tidak otomatis irasional.

Kesalahan Umum tentang Jenis Bilangan

Menganggap $0$ Selalu Bilangan Asli

Buku pelajaran yang berbeda memakai konvensi yang berbeda. Jika suatu soal menanyakan apakah $0$ termasuk bilangan asli, periksa definisi yang sedang digunakan.

Lupa Bahwa Bilangan Bulat Adalah Bilangan Rasional

Siswa kadang memisahkan bilangan bulat dari bilangan rasional terlalu tegas. Setiap bilangan bulat adalah rasional karena selalu bisa ditulis dengan penyebut $1$.

Mengira Setiap Akar Kuadrat Itu Irasional

Sebagian memang irasional, tetapi tidak semuanya. Misalnya, $\sqrt{2}$ irasional, tetapi $\sqrt{9} = 3$ rasional.

Menganggap Desimal Panjang Pasti Irasional

Panjang bukanlah uji yang tepat. Pertanyaan sebenarnya adalah apakah desimal itu berhenti atau berulang.

Kapan Anda Menggunakan Bilangan Asli, Cacah, Bulat, Rasional, dan Irasional

Kategori ini muncul saat Anda menyelesaikan persamaan, menjelaskan himpunan solusi, memilih masukan yang diperbolehkan, dan membaca garis bilangan. Jika suatu soal meminta solusi bilangan bulat, $\frac{5}{2}$ langsung tidak memenuhi meskipun bilangan itu rasional.

Kategori ini juga penting karena operasi tidak selalu membuat Anda tetap berada dalam himpunan yang sama. Bilangan asli, misalnya, tetap bilangan asli saat dijumlahkan, tetapi tidak selalu saat dikurangkan.

Coba Klasifikasi yang Mirip

Coba klasifikasikan $5$, $-1$, $0.25$, dan $\sqrt{9}$. Ajukan pertanyaan yang sama setiap kali: apakah ini bilangan untuk menghitung, apakah mencakup nol, apakah memiliki bagian pecahan, dapatkah ditulis sebagai $a/b$, atau apakah gagal memenuhi uji itu?