Liczby dziesiętne — wartość miejsc, zaokrąglanie i działania

Liczby dziesiętne to liczby, które wykorzystują wartość miejsc do zapisu liczb całkowitych i części całości w systemie o podstawie $10$. Cyfry na prawo od przecinka dziesiętnego oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne i jeszcze mniejsze części.

W liczbie $4.386$ cyfra $4$ oznacza $4$ jedności, cyfra $3$ oznacza $3$ części dziesiąte, cyfra $8$ oznacza $8$ części setnych, a cyfra $6$ oznacza $6$ części tysięcznych. Gdy zrozumiesz tę ideę wartości miejsc, porównywanie, zaokrąglanie i wykonywanie działań na liczbach dziesiętnych staje się dużo łatwiejsze.

Jak działa wartość miejsc w liczbach dziesiętnych

Każde miejsce ma wartość równą jednej dziesiątej miejsca po swojej lewej stronie.

Dlatego

$$0.1 = \frac{1}{10}, \quad 0.01 = \frac{1}{100}, \quad 0.001 = \frac{1}{1000}$$

oraz

$$4.386 = 4 + \frac{3}{10} + \frac{8}{100} + \frac{6}{1000}$$

To jest kluczowa idea przy odczytywaniu liczb dziesiętnych, porównywaniu ich, zaokrąglaniu i wykonywaniu na nich działań.

Jak poprawnie porównywać liczby dziesiętne

Najpierw porównuj największe wartości miejsc. Jeśli cyfry jedności są takie same, przejdź do części dziesiątych, potem setnych, a następnie tysięcznych.

Na przykład porównaj $2.5$ i $2.49$. Obie liczby mają $2$ jedności. Następnie porównaj części dziesiąte: $2.5$ ma $5$ części dziesiątych, a $2.49$ ma $4$ części dziesiąte. Zatem

$$2.5 > 2.49$$

Przy porównywaniu często pomaga dopisanie zer na końcu:

$$2.5 = 2.50$$

Dopisanie zera po prawej stronie nie zmienia wartości liczby.

Jak zaokrąglać liczby dziesiętne

Zaokrąglanie polega na zastąpieniu liczby bliską wartością, z którą łatwiej się pracuje. Zasada zależy od miejsca, do którego zaokrąglasz.

Aby zaokrąglić $4.386$ do najbliższej części setnej, spójrz na cyfrę części tysięcznych. Ponieważ jest to $6$, cyfra części setnych zaokrągla się w górę:

$$4.386 \approx 4.39$$

Aby zaokrąglić tę samą liczbę do najbliższej części dziesiątej, spójrz na cyfrę części setnych. Ponieważ jest to $8$, cyfra części dziesiątych zaokrągla się w górę:

$$4.386 \approx 4.4$$

Warunek ma znaczenie: „do najbliższej części dziesiątej” i „do najbliższej części setnej” to różne pytania, więc mogą dawać różne odpowiedzi.

Jak działają działania na liczbach dziesiętnych

Dodawanie i odejmowanie

Ustaw przecinki dziesiętne w jednej linii, aby każda wartość miejsca pozostała w tej samej kolumnie.

Na przykład

$$12.45 + 3.7 = 12.45 + 3.70 = 16.15$$

Dodatkowe zero nie zmienia liczby $3.7$. Sprawia tylko, że łatwiej ustawić wartości miejsc.

Odejmowanie działa tak samo:

$$12.45 - 3.70 = 8.75$$

Mnożenie

Przy mnożeniu liczb dziesiętnych iloczyn może mieć więcej miejsc po przecinku niż którykolwiek z czynników. Przydatną kontrolą jest oszacowanie wielkości wyniku.

Na przykład

$$0.4 \times 0.3 = 0.12$$

To ma sens, ponieważ oba czynniki są dodatnie i mniejsze od $1$, więc iloczyn powinien być mniejszy od każdego z nich.

Dzielenie

Dzielenie odpowiada na pytanie, ile grup się mieści albo jak duża jest każda grupa. W przypadku liczb dziesiętnych najłatwiej jest często przekształcić działanie tak, aby dzielnik był liczbą całkowitą.

Na przykład

$$1.26 \div 0.3 = 12.6 \div 3 = 4.2$$

To działa, ponieważ pomnożenie dzielnej i dzielnika przez tę samą niezerową potęgę liczby $10$ nie zmienia ilorazu, o ile dzielnik nie jest równy $0$.

Jeden przykład rozwiązany od początku do końca

Załóżmy, że biegacz pokonuje $12.45$ km jednego dnia i $3.7$ km następnego dnia.

Najpierw dodaj odległości:

$$12.45 + 3.70 = 16.15$$

Teraz zaokrąglij sumę do najbliższej części dziesiątej. Cyfra części dziesiątych to $1$, a cyfra części setnych to $5$, więc cyfra części dziesiątych zaokrągla się w górę:

$$16.15 \approx 16.2$$

Ten przykład pokazuje cały ciąg działań: przy dodawaniu ustaw przecinki dziesiętne w jednej linii, a potem zaokrąglij, sprawdzając cyfrę bezpośrednio po prawej stronie od wskazanego miejsca.

Typowe błędy przy liczbach dziesiętnych

Porównywanie według liczby cyfr zamiast wartości miejsc

$0.9$ jest większe niż $0.35$, mimo że $35$ wygląda na większe niż $9$. Części dziesiąte są ważniejsze niż setne, więc o porównaniu decyduje wartość miejsc.

Zapominanie o ustawieniu przecinków dziesiętnych w jednej linii

Przy dodawaniu i odejmowaniu ustawiasz liczby według wartości miejsc, a nie według ostatniej cyfry.

Założenie, że więcej cyfr po przecinku oznacza większą liczbę

$2.50$ i $2.5$ są równe. Dodatkowe zera na końcu po prawej stronie nie zmieniają wartości liczby.

Oczekiwanie, że każdy ułamek kończy się rozwinięciem dziesiętnym skończonym

Niektóre rozwinięcia dziesiętne są skończone, na przykład $0.25$. Inne powtarzają się bez końca, na przykład

$$\frac{1}{3} = 0.333\ldots$$

Liczba dziesiętna nie musi więc się kończyć, aby reprezentować liczbę rzeczywistą.

Gdzie używa się liczb dziesiętnych

Liczby dziesiętne są używane wszędzie tam, gdzie przydaje się dokładność w systemie dziesiętnym, szczególnie w pieniądzach, pomiarach, statystyce i danych naukowych.

Są praktyczne, ponieważ wartość miejsc ułatwia szacowanie, zaokrąglanie i porównywanie wielkości przy różnych poziomach dokładności.

Spróbuj podobnego zadania

Weź liczbę $7.268$. Podaj cyfrę części dziesiątych, setnych i tysięcznych, a następnie zaokrąglij tę liczbę do najbliższej części dziesiątej i setnej. Potem oblicz $7.268 + 0.45$, ustawiając przecinki dziesiętne w jednej linii. Taka sekwencja sprawdza, czy naprawdę rozumiesz główną ideę.