Tipos de números — naturais, inteiros não negativos, inteiros

Os tipos de números mostram que tipo de número você está observando: natural, inteiro não negativo, inteiro, racional ou irracional. A ideia principal é simples: alguns conjuntos estão contidos em outros maiores, então um mesmo número pode pertencer a várias categorias ao mesmo tempo.

Um detalhe importa logo de início: alguns livros incluem $0$ nos números naturais, e outros não. Números inteiros não negativos geralmente significam $0, 1, 2, 3, \dots$, então o $0$ é o número que mais costuma depender da convenção adotada.

Como Os Conjuntos Numéricos Se Encaixam

A visão usual dos números reais é:

$$\text{natural} \subseteq \text{whole} \subseteq \text{integers} \subseteq \text{rational} \subseteq \text{real}$$

Os números irracionais também são números reais, mas não são racionais. Então os números reais se dividem em dois grupos: racionais e irracionais.

É por isso que um número pode ter vários rótulos. Por exemplo, $4$ é natural, inteiro não negativo, inteiro e racional porque $4 = 4/1$.

Naturais, Inteiros Não Negativos, Inteiros, Racionais E Irracionais

Números Naturais

Os números naturais são os números de contagem. Em muitos cursos, isso significa

$$1, 2, 3, 4, \dots$$

Alguns cursos também incluem o $0$. Se sua aula ou livro não disser isso claramente, confira antes de classificar o $0$ como natural.

Números Inteiros Não Negativos

Os números inteiros não negativos geralmente são

$$0, 1, 2, 3, 4, \dots$$

Eles incluem o zero, mas não incluem números negativos nem frações.

Números Inteiros

Os números inteiros incluem os inteiros negativos, o zero e os inteiros positivos:

$$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$$

Um número inteiro não tem parte fracionária, então $-7$ e $0$ são inteiros, mas $3/2$ não é.

Números Racionais

Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como

$$\frac{a}{b}$$

em que $a$ e $b$ são inteiros e $b \ne 0$.

Isso inclui frações como $\frac{3}{4}$, inteiros como $-2$ porque $-2 = -2/1$, e decimais exatos ou periódicos, como $0.5$ e $0.333\dots$.

Números Irracionais

Um número irracional não pode ser escrito como a razão entre dois inteiros.

Nos números reais, isso significa que sua forma decimal não termina e não se repete em um padrão fixo. Exemplos comuns são $\sqrt{2}$ e $\pi$.

Exemplo Resolvido: Como Classificar Um Número

Use exemplos representativos para perceber o padrão rapidamente:

Número	Classificação	Por quê
$0$	inteiro não negativo, inteiro, racional	$0 = 0/1$, então é racional. Também é inteiro não negativo e inteiro. Só é natural se o seu curso incluir o $0$.
$-3$	inteiro, racional	Não tem parte fracionária, então é inteiro. Além disso, $-3 = -3/1$, então é racional.
$\frac\{7\}\{4\}$	racional	Já está escrito como a razão entre dois inteiros com denominador diferente de zero, então é racional, mas não é inteiro.
$\sqrt\{2\}$	irracional	Não pode ser escrito como fração entre dois inteiros, então é irracional.

Isso mostra a ideia principal: a classificação depende de o número satisfazer a definição, não de ele parecer complicado.

Um Teste Rápido Para Decimais

Se um decimal termina, ele é racional. Por exemplo,

$$0.125 = \frac{1}{8}$$

Se um decimal se repete, ele também é racional. Por exemplo,

$$0.777\dots = \frac{7}{9}$$

Se o decimal de um número real nem termina nem se repete, ele é irracional.

Esse teste só funciona quando você conhece o padrão. Um decimal que apenas parece longo não é automaticamente irracional.

Erros Comuns Sobre Tipos De Números

Supor Que $0$ É Sempre Natural

Livros diferentes usam convenções diferentes. Se um problema perguntar se $0$ é natural, verifique qual definição está sendo usada.

Esquecer Que Inteiros São Números Racionais

Às vezes os alunos separam inteiros e racionais de forma exagerada. Todo inteiro é racional porque sempre pode ser escrito sobre $1$.

Pensar Que Toda Raiz Quadrada É Irracional

Algumas são irracionais, mas nem todas. Por exemplo, $\sqrt{2}$ é irracional, mas $\sqrt{9} = 3$ é racional.

Supor Que Um Decimal Longo Deve Ser Irracional

O comprimento não é o teste. A verdadeira questão é se o decimal termina ou se repete.

Quando Você Usa Números Naturais, Inteiros Não Negativos, Inteiros, Racionais E Irracionais

Essas categorias aparecem quando você resolve equações, descreve conjuntos solução, escolhe entradas permitidas e lê retas numéricas. Se um problema pede soluções inteiras, $\frac{5}{2}$ é descartado imediatamente, mesmo sendo racional.

Elas também importam porque as operações nem sempre mantêm você dentro do mesmo conjunto. Os números naturais, por exemplo, permanecem naturais na adição, mas nem sempre na subtração.

Tente Uma Classificação Parecida

Tente classificar $5$, $-1$, $0.25$ e $\sqrt{9}$. Faça sempre as mesmas perguntas: é um número de contagem, inclui o zero, tem parte fracionária, pode ser escrito como $a/b$ ou falha nesse teste?