数の種類 — 自然数・全体数・整数・有理数・無理数

数の種類とは、見ている数が自然数・全体数・整数・有理数・無理数のどれに当たるかを表すものです。基本の考え方はシンプルで、ある集合がより大きな集合の中に含まれているため、1つの数が同時に複数の分類に入ることがあります。

最初に大事な点が1つあります。教科書によっては自然数に $0$ を含めますが、含めないものもあります。全体数はふつう $0, 1, 2, 3, \dots$ を指すので、$0$ は特に流儀の違いが出やすい数です。

数の集合の関係

実数の集合の関係は、ふつう次のように表します。

$$\text{natural} \subseteq \text{whole} \subseteq \text{integers} \subseteq \text{rational} \subseteq \text{real}$$

無理数も実数ですが、有理数ではありません。つまり実数は、有理数と無理数の2つのグループに分かれます。

このため、1つの数に複数のラベルが付くことがあります。たとえば $4$ は、$4 = 4/1$ と書けるので、自然数・全体数・整数・有理数のすべてに当てはまります。

自然数・全体数・整数・有理数・無理数

自然数

自然数は、ものを数えるときの数です。多くの授業では、これは

$$1, 2, 3, 4, \dots$$

を意味します。

ただし、授業によっては $0$ も含めます。クラスや教科書に明記されていない場合は、$0$ を自然数に入れてよいか先に確認しましょう。

全体数

全体数は、ふつう

$$0, 1, 2, 3, 4, \dots$$

です。

全体数には $0$ が含まれますが、負の数や分数は含まれません。

整数

整数には、負の全体数、$0$、正の全体数が含まれます。

$$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$$

整数には小数部分や分数部分がありません。したがって、$-7$ や $0$ は整数ですが、$3/2$ は整数ではありません。

有理数

有理数とは、次の形に書ける数のことです。

$$\frac{a}{b}$$

ここで、$a$ と $b$ は整数で、$b \ne 0$ です。

これには、$\frac{3}{4}$ のような分数、$-2 = -2/1$ と書けるので $-2$ のような整数、そして $0.5$ や $0.333\dots$ のような有限小数や循環小数が含まれます。

無理数

無理数は、2つの整数の比として表せない数です。

実数について言えば、小数で表したときに有限で終わらず、一定の規則で繰り返しもしません。代表的な例は $\sqrt{2}$ や $\pi$ です。

例題：数をどう分類するか

代表的な例を見ると、分類のしかたがすぐにつかめます。

数	分類	理由
$0$	全体数、整数、有理数	$0 = 0/1$ と書けるので有理数です。また、全体数であり整数でもあります。自然数かどうかは、その授業で $0$ を含めるかによります。
$-3$	整数、有理数	分数部分がないので整数です。また、$-3 = -3/1$ と書けるので有理数です。
$\frac\{7\}\{4\}$	有理数	すでに、分母が $0$ でない2つの整数の比として書かれているので有理数です。ただし整数ではありません。
$\sqrt\{2\}$	無理数	2つの整数の分数として表せないので無理数です。

ここでのポイントは、分類は見た目の複雑さではなく、その数が定義に当てはまるかどうかで決まるということです。

小数をすばやく見分ける方法

小数が有限で終わるなら、有理数です。たとえば、

$$0.125 = \frac{1}{8}$$

です。

小数が繰り返すなら、それも有理数です。たとえば、

$$0.777\dots = \frac{7}{9}$$

です。

実数の小数表示が、有限で終わらず、しかも繰り返しもしないなら、その数は無理数です。

ただし、この判定は規則がわかっているときにだけ使えます。ただ長く見える小数だからといって、自動的に無理数とは限りません。

数の種類でよくある間違い

$0$ はいつでも自然数だと思い込む

教科書によって流儀が異なります。問題で $0$ が自然数かを問われたら、使われている定義を確認しましょう。

整数は有理数ではないと思ってしまう

整数と有理数をはっきり分けすぎてしまうことがあります。どんな整数も、必ず分母を $1$ にして表せるので有理数です。

すべての平方根は無理数だと思ってしまう

無理数のものもありますが、すべてではありません。たとえば $\sqrt{2}$ は無理数ですが、$\sqrt{9} = 3$ は有理数です。

長い小数は無理数に違いないと思ってしまう

長さは判定基準ではありません。本当に大事なのは、その小数が有限で終わるか、繰り返すかどうかです。

自然数・全体数・整数・有理数・無理数を使う場面

これらの分類は、方程式を解くとき、解集合を表すとき、使ってよい入力を決めるとき、数直線を読むときなどに出てきます。たとえば問題が整数解を求めているなら、$\frac{5}{2}$ は有理数ではあっても、すぐに候補から外れます。

また、演算をしても必ず同じ集合にとどまるとは限らない、という点でも重要です。たとえば自然数は足し算では自然数のままですが、引き算ではそうならないことがあります。

似た分類をやってみよう

$5$、$-1$、$0.25$、$\sqrt{9}$ を分類してみましょう。毎回同じことを確認します。数える数か、$0$ を含むか、分数部分があるか、$a/b$ の形に書けるか、それともその条件を満たさないか、という点です。