Pierwiastki niewymierne — upraszczanie, dodawanie i usuwanie niewymierności z

Pierwiastki niewymierne to wyrażenia pierwiastkowe, które po uproszczeniu nadal są niewymierne. Typowe przykłady to $\sqrt{2}$ i $3\sqrt{5}$. Aby poprawnie wykonywać działania na takich wyrażeniach, najpierw je uprość, łącz tylko podobne pierwiastki i usuń niewymierność z mianownika, jeśli znajduje się tam pierwiastek.

Pierwiastki niewymierne są ważne, ponieważ pozwalają zachować wartości dokładne. Na przykład $\sqrt{2}$ jest dokładniejsze niż zaokrąglony zapis dziesiętny, taki jak $1.414$.

Co oznacza pierwiastek niewymierny

Jeśli pierwiastek upraszcza się do liczby wymiernej, zwykle nie traktuje się go jako pierwiastka niewymiernego. Na przykład

$$\sqrt{9} = 3$$

więc $\sqrt{9}$ po uproszczeniu nie jest pierwiastkiem niewymiernym.

Ale

$$\sqrt{2}$$

nie upraszcza się do liczby wymiernej, więc jest pierwiastkiem niewymiernym.

Ta sama zasada dotyczy wyrażeń takich jak $2\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$ czy $5\sqrt{11}$. Są to dokładne wyrażenia pierwiastkowe, których uproszczone wartości nadal są niewymierne.

Jak upraszczać pierwiastki niewymierne

Aby uprościć pierwiastek niewymierny, poszukaj pod pierwiastkiem czynnika będącego kwadratem liczby całkowitej.

Na przykład

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Celem jest wyłączenie spod pierwiastka wszystkich pełnych kwadratów i pozostawienie pod nim tylko części, której nie da się już tak uprościć.

Jeśli liczba pod pierwiastkiem nie ma żadnego czynnika będącego kwadratem liczby całkowitej większym od $1$, to wyrażenie jest już uproszczone.

Jak dodawać i odejmować pierwiastki niewymierne

Możesz dodawać lub odejmować pierwiastki niewymierne tylko wtedy, gdy są podobne, czyli gdy po uproszczeniu mają tę samą część podpierwiastkową.

Na przykład

$$2\sqrt{8} + \sqrt{18}$$

nie da się połączyć od razu. Najpierw uprość każdy składnik:

$$2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

oraz

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Teraz oba wyrazy mają tę samą część podpierwiastkową, więc

$$4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$

To najważniejszy schemat: najpierw uprość, a potem połącz współczynniki, jeśli część podpierwiastkowa jest taka sama.

Przykład: uprość, dodaj, a potem usuń niewymierność z mianownika

Uprość

$$\frac{2\sqrt{8} + \sqrt{18}}{\sqrt{3}}$$

Zacznij od uproszczenia licznika:

$$2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$$

oraz

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Zatem ułamek przyjmuje postać

$$\frac{4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Teraz usuń niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$:

$$\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{6}}{3}$$

Ostatecznie uproszczony wynik to

$$\frac{7\sqrt{6}}{3}$$

Ten jeden przykład pokazuje cały schemat postępowania: uprość każdy pierwiastek, połącz podobne wyrażenia, a następnie usuń niewymierność z mianownika.

Jak usuwać niewymierność z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika oznacza pozbycie się pierwiastków z dolnej części ułamka bez zmiany jego wartości.

Jeśli w mianowniku jest pojedynczy pierwiastek, pomnóż licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek. Na przykład

$$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Jeśli mianownik ma dwa wyrazy, na przykład $a + \sqrt{b}$, użyj wyrażenia sprzężonego $a - \sqrt{b}$. Działa to, ponieważ

$$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$$

a w wyrażeniu $a^2 - b$ nie ma już składnika z pierwiastkiem.

Częste błędy przy pierwiastkach niewymiernych

Dodawanie przed uproszczeniem

$\sqrt{8}$ i $\sqrt{18}$ nie wyglądają od razu jak podobne pierwiastki, ale po uproszczeniu stają się równe $2\sqrt{2}$ i $3\sqrt{2}$. Jeśli pominiesz etap upraszczania, łatwo przeoczyć prostą możliwość połączenia wyrazów.

Łączenie niepodobnych pierwiastków

Ogólnie

$$\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5}$$

Możesz łączyć współczynniki tylko wtedy, gdy uproszczone części podpierwiastkowe są takie same.

Rozdzielanie pierwiastka na sumę

Ogólnie

$$\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

Na przykład $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$, ale $\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$, co nie jest równe $3$.

Niepoprawne skracanie pierwiastków

W wyrażeniu

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

nie można skrócić pierwiastków, ponieważ liczby pod nimi są różne. Trzeba poprawnie uprościć wyrażenie albo usunąć niewymierność z mianownika.

Gdzie używa się pierwiastków niewymiernych

Pierwiastki niewymierne pojawiają się wszędzie tam, gdzie wartości dokładne zawierają pierwiastki z liczb niebędących pełnymi kwadratami. Często występują w geometrii, twierdzeniu Pitagorasa, równaniach kwadratowych, trygonometrii i upraszczaniu wyrażeń algebraicznych.

Są szczególnie przydatne wtedy, gdy postać dokładna ma większe znaczenie niż przybliżenie dziesiętne. Na przykład kwadrat o boku długości $3$ ma przekątną równą $3\sqrt{2}$, a nie tylko jej przybliżenie dziesiętne.

Krótka lista kontrolna do zadań z pierwiastkami niewymiernymi

Podczas pracy z pierwiastkami niewymiernymi zapytaj:

1. Czy najpierw uprościłem każdy pierwiastek?
2. Czy wyrażenia są naprawdę podobne, zanim je dodam lub odejmę?
3. Jeśli mam ułamek, czy w mianowniku nadal jest pierwiastek?
4. Czy zachowuję wynik w postaci dokładnej, chyba że zadanie wymaga zapisu dziesiętnego?

Te cztery pytania pomagają uniknąć większości typowych błędów.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj uprościć

$$\frac{\sqrt{50} + \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$$

Pracuj w tej samej kolejności: uprość każdy pierwiastek, połącz podobne wyrazy, a potem sprawdź, czy nadal trzeba usuwać niewymierność z mianownika. Jeśli korzystasz z rozwiązania krok po kroku, porównuj każdy etap przekształceń algebraicznych, a nie tylko końcowy wynik.