Các loại số — số tự nhiên, số nguyên không âm, số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ

Các loại số cho biết bạn đang xét loại số nào: số tự nhiên, số nguyên không âm, số nguyên, số hữu tỉ hay số vô tỉ. Ý chính rất đơn giản: có những tập số nằm bên trong những tập lớn hơn, nên một số có thể đồng thời thuộc nhiều loại.

Có một chi tiết cần lưu ý ngay: một số sách giáo khoa tính $0$ vào tập số tự nhiên, còn một số sách thì không. Số nguyên không âm thường là $0, 1, 2, 3, \dots$, nên $0$ là số dễ phụ thuộc vào quy ước nhất.

Các tập số liên hệ với nhau như thế nào

Cách biểu diễn quen thuộc trong hệ số thực là:

$$\text{natural} \subseteq \text{whole} \subseteq \text{integers} \subseteq \text{rational} \subseteq \text{real}$$

Số vô tỉ cũng là số thực, nhưng không phải là số hữu tỉ. Vì vậy, tập số thực được chia thành hai nhóm: số hữu tỉ và số vô tỉ.

Đó là lý do một số có thể có nhiều nhãn phân loại. Ví dụ, $4$ là số tự nhiên, số nguyên không âm, số nguyên và số hữu tỉ vì $4 = 4/1$.

Số tự nhiên, số nguyên không âm, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ

Số tự nhiên

Số tự nhiên là các số dùng để đếm. Trong nhiều khóa học, điều đó có nghĩa là

$$1, 2, 3, 4, \dots$$

Một số khóa học cũng tính cả $0$. Nếu lớp học hoặc sách giáo khoa của bạn không nói rõ, hãy kiểm tra trước khi xếp $0$ vào số tự nhiên.

Số nguyên không âm

Số nguyên không âm thường là

$$0, 1, 2, 3, 4, \dots$$

Số nguyên không âm có bao gồm số $0$ nhưng không bao gồm số âm hoặc phân số.

Số nguyên

Số nguyên bao gồm các số nguyên âm, số $0$ và các số nguyên dương:

$$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$$

Một số nguyên không có phần phân số, nên $-7$ và $0$ là số nguyên còn $3/2$ thì không.

Số hữu tỉ

Số hữu tỉ là mọi số có thể viết dưới dạng

$$\frac{a}{b}$$

trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên và $b \ne 0$.

Điều này bao gồm các phân số như $\frac{3}{4}$, các số nguyên như $-2$ vì $-2 = -2/1$, và các số thập phân hữu hạn hoặc thập phân tuần hoàn như $0.5$ và $0.333\dots$.

Số vô tỉ

Số vô tỉ không thể viết dưới dạng tỉ số của hai số nguyên.

Với số thực, điều đó có nghĩa là dạng thập phân của nó không hữu hạn và cũng không lặp lại theo một quy luật cố định. Những ví dụ quen thuộc là $\sqrt{2}$ và $\pi$.

Ví dụ có lời giải: Cách phân loại một số

Hãy dùng các ví dụ tiêu biểu để thấy quy luật nhanh hơn:

Số	Phân loại	Vì sao
$0$	số nguyên không âm, số nguyên, số hữu tỉ	$0 = 0/1$, nên nó là số hữu tỉ. Nó cũng là số nguyên không âm và số nguyên. Nó chỉ là số tự nhiên nếu khóa học của bạn tính cả $0$.
$-3$	số nguyên, số hữu tỉ	Nó không có phần phân số nên là số nguyên. Đồng thời, $-3 = -3/1$, nên nó là số hữu tỉ.
$\frac\{7\}\{4\}$	số hữu tỉ	Nó đã được viết dưới dạng tỉ số của hai số nguyên với mẫu khác $0$, nên là số hữu tỉ nhưng không phải số nguyên.
$\sqrt\{2\}$	số vô tỉ	Nó không thể viết thành phân số của hai số nguyên, nên là số vô tỉ.

Ví dụ này cho thấy ý chính: việc phân loại dựa vào việc số đó có thỏa định nghĩa hay không, chứ không dựa vào việc nó trông phức tạp đến mức nào.

Cách kiểm tra nhanh với số thập phân

Nếu một số thập phân là hữu hạn thì nó là số hữu tỉ. Ví dụ,

$$0.125 = \frac{1}{8}$$

Nếu một số thập phân là tuần hoàn thì nó cũng là số hữu tỉ. Ví dụ,

$$0.777\dots = \frac{7}{9}$$

Nếu biểu diễn thập phân của một số thực vừa không hữu hạn vừa không tuần hoàn, thì nó là số vô tỉ.

Cách kiểm tra này chỉ đúng khi bạn biết rõ quy luật. Một số thập phân chỉ trông có vẻ dài thì chưa thể tự động kết luận là số vô tỉ.

Những lỗi thường gặp về các loại số

Cho rằng $0$ luôn là số tự nhiên

Các sách giáo khoa khác nhau dùng các quy ước khác nhau. Nếu bài toán hỏi $0$ có phải là số tự nhiên hay không, hãy kiểm tra định nghĩa đang được dùng.

Quên rằng số nguyên cũng là số hữu tỉ

Học sinh đôi khi tách số nguyên và số hữu tỉ quá cứng nhắc. Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ vì bạn luôn có thể viết nó dưới dạng chia cho $1$.

Nghĩ rằng mọi căn bậc hai đều là số vô tỉ

Một số là vô tỉ, nhưng không phải tất cả. Ví dụ, $\sqrt{2}$ là số vô tỉ, nhưng $\sqrt{9} = 3$ là số hữu tỉ.

Cho rằng số thập phân dài thì chắc chắn là số vô tỉ

Độ dài không phải là tiêu chí. Câu hỏi thật sự là số thập phân đó có hữu hạn hoặc tuần hoàn hay không.

Khi nào bạn dùng số tự nhiên, số nguyên không âm, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ

Những nhóm này xuất hiện khi bạn giải phương trình, mô tả tập nghiệm, chọn các giá trị đầu vào được phép và đọc trục số. Nếu bài toán yêu cầu nghiệm nguyên, thì $\frac{5}{2}$ bị loại ngay lập tức dù nó là số hữu tỉ.

Chúng cũng quan trọng vì các phép toán không phải lúc nào cũng giữ kết quả trong cùng một tập. Chẳng hạn, số tự nhiên vẫn là số tự nhiên khi cộng, nhưng không phải lúc nào cũng vậy khi trừ.

Hãy thử một bài phân loại tương tự

Hãy thử phân loại $5$, $-1$, $0.25$ và $\sqrt{9}$. Mỗi lần, hãy tự hỏi cùng một loạt câu hỏi: nó có phải là số dùng để đếm không, có bao gồm $0$ không, có phần phân số không, có thể viết dưới dạng $a/b$ không, hay không vượt qua được phép kiểm tra đó?