Transmitancja

Transmitancja to zależność w dziedzinie Laplace’a, która łączy wejście liniowego i niezmiennego w czasie układu z jego wyjściem. Przy zerowych warunkach początkowych definiuje się ją jako

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

gdzie $X(s)$ jest transformatą sygnału wejściowego, a $Y(s)$ jest transformatą sygnału wyjściowego. Mówiąc prościej, pokazuje ona, jak silnie układ reaguje na różne sygnały wejściowe, bez konieczności rozwiązywania od początku pełnego równania różniczkowego za każdym razem.

Nie jest to po prostu „wyjście podzielone przez wejście” w dowolnej sytuacji. Ta definicja działa tylko w określonych warunkach, a te warunki są istotne.

Co mówi transmitancja

Transmitancja ujmuje zachowanie układu w jednym wyrażeniu. Gdy znasz $H(s)$, często możesz od razu stwierdzić, czy układ wzmacnia, osłabia, opóźnia lub filtruje pewne składowe sygnału wejściowego.

W zadaniach dotyczących stanu ustalonego dla wymuszeń sinusoidalnych oblicza się ją na osi urojonej jako $H(i\omega)$. Daje to dwie praktyczne informacje:

• moduł, który mówi, jak bardzo sinusoidalny sygnał wejściowy o częstości kątowej $\omega$ jest wzmacniany lub osłabiany
• fazę, która mówi, o ile sygnał wyjściowy jest przesunięty względem wejściowego

Dlatego transmitancje pojawiają się w obwodach, drganiach, filtracji i automatyce.

Kiedy $H(s) = Y(s)/X(s)$ jest poprawne

Standardowy wzór zakłada, że układ jest liniowy i niezmienny w czasie. Jeśli liniowość nie jest spełniona, sygnały wejściowe nie sumują się zgodnie z zasadą superpozycji. Jeśli niezmienność w czasie nie jest spełniona, układ może zachowywać się inaczej w różnych chwilach, więc jedna stała transmitancja nie wystarcza.

Istotne są też zerowe warunki początkowe. Energia zgromadzona w kondensatorze, cewce lub oscylatorze mechanicznym zmienia rzeczywisty sygnał wyjściowy, ale ten dodatkowy wkład nie jest częścią samej transmitancji. Transmitancja opisuje wbudowaną zależność wejście–wyjście dla standardowego przypadku z zerowymi warunkami początkowymi.

Przykład obliczeniowy: filtr RC dolnoprzepustowy

Weź opornik $R$ połączony szeregowo z kondensatorem $C$ i mierz napięcie wyjściowe na kondensatorze. W dziedzinie Laplace’a impedancja kondensatora wynosi $1/(sC)$, więc z prawa dzielnika napięcia otrzymujemy

$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sRC}$$

Jest to transmitancja filtru dolnoprzepustowego. Niskie częstotliwości przechodzą łatwiej niż wysokie, dlatego sygnał wyjściowy wygląda jak wygładzona wersja sygnału wejściowego.

Wybierzmy jeden konkretny przypadek:

$$R = 1000\ \Omega, \qquad C = 1\ \mu\mathrm{F}$$

Wtedy

$$RC = 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

więc transmitancja ma postać

$$H(s) = \frac{1}{1 + 0.001s}$$

Częstość kątowa graniczna wynosi

$$\omega_c = \frac{1}{RC} = 1000\ \mathrm{rad/s}$$

co odpowiada

$$f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 159\ \mathrm{Hz}$$

Przy częstotliwości granicznej

$$\left|H(i\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

Zatem amplituda sygnału wyjściowego wynosi około $70.7\%$ amplitudy sygnału wejściowego przy tej częstotliwości. Ta jedna liczba już mówi coś użytecznego: układ zaczyna wyraźnie tłumić sygnały w okolicach $159\ \mathrm{Hz}$ i powyżej.

Dla szybkiego sprawdzenia intuicji, jeśli $\omega \ll 1000\ \mathrm{rad/s}$, to $|H(i\omega)|$ jest bliskie $1$, więc sygnał wyjściowy ma prawie taką samą amplitudę jak wejściowy. Jeśli $\omega \gg 1000\ \mathrm{rad/s}$, moduł staje się mały, więc szybkie oscylacje są silnie tłumione.

Typowe błędy związane z transmitancją

• Używanie tego pojęcia dla układów, które nie są modelowane jako liniowe i niezmienne w czasie.
• Pomijanie jasnego określenia, która zmienna jest wejściem, a która wyjściem.
• Traktowanie transmitancji tak, jakby już uwzględniała dowolne warunki początkowe.
• Mylenie ogólnej transmitancji w dziedzinie Laplace’a $H(s)$ z charakterystyką częstotliwościową $H(i\omega)$.
• Odczytywanie tylko modułu i ignorowanie przesunięcia fazowego, gdy faza ma znaczenie fizyczne.

Gdzie stosuje się transmitancje

Transmitancje są użyteczne wszędzie tam, gdzie układ można opisać liniowymi równaniami różniczkowymi i interesuje nas to, jak sygnały wejściowe przechodzą na wyjście. Typowe przykłady to obwody RC i RLC, tłumione oscylatory mechaniczne, układy ze sprzężeniem zwrotnym i proste modele czujników.

W fizyce są szczególnie przydatne wtedy, gdy głównym pytaniem nie jest pełny przebieg czasowy, lecz to, jak układ reaguje na wymuszenie, filtrację lub drgania w funkcji częstotliwości.

Spróbuj podobnej transmitancji

Rozważ ten sam obwód RC, ale mierz napięcie wyjściowe na oporniku zamiast na kondensatorze. Otrzymasz transmitancję filtru górnoprzepustowego, a to porównanie dobrze utrwala jedną kluczową ideę: zmiana wyjścia zmienia transmitancję.