구의 부피 공식과 풀이 예제

구의 부피는 구의 내부 공간의 크기입니다. 반지름이 $r$이면 다음 공식을 사용합니다.

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

이 공식에는 지름이 아니라 반지름을 사용합니다. 문제에서 지름 $d$가 주어졌다면 먼저 다음과 같이 바꾸세요.

$$r = \frac{d}{2}$$

이 한 단계만 지켜도 구의 부피 문제에서 가장 흔한 실수를 막을 수 있습니다.

부피는 3차원 공간의 크기를 나타내므로, 답은 $\text{cm}^3$ 또는 $\text{m}^3$처럼 세제곱 단위로 씁니다.

왜 공식에 $r^3$이 들어갈까요?

$r^3$ 항은 부피가 길이나 넓이가 아니라 3차원 크기에 따라 결정된다는 뜻입니다. 그래서 반지름이 변하면 부피는 훨씬 빠르게 변합니다.

예를 들어 반지름이 $r$에서 $2r$로 두 배가 되면,

$$V_{\text{new}} = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$$

즉, 반지름이 두 배가 되면 부피는 $8$배가 됩니다. 답이 너무 작아 보일 때 이 성질로 확인해 보면 좋습니다.

풀이 예제: 지름으로 구의 부피 구하기

어떤 구의 지름이 $10$ cm라고 합시다. 이 구의 부피를 구해 봅시다.

먼저 지름을 반지름으로 바꿉니다.

$$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$$

이제 $r = 5$를 공식에 대입합니다.

$$V = \frac{4}{3}\pi (5^3)$$

$5^3 = 125$이므로,

$$V = \frac{4}{3}\pi (125) = \frac{500}{3}\pi$$

따라서 정확한 부피는

$$\frac{500}{3}\pi\ \text{cm}^3$$

입니다.

소수 근삿값을 구하면,

$$V \approx 523.6\ \text{cm}^3$$

이 예제가 중요한 이유는 많은 문제가 반지름 대신 지름을 주기 때문입니다.

구의 부피를 구할 때 자주 하는 실수

1. 반지름 대신 지름을 그대로 사용하는 것
2. 반지름을 세제곱하지 않고 제곱하는 것
3. 부피와 겉넓이를 혼동하는 것. 구의 겉넓이는 $4\pi r^2$로, 다른 공식입니다.
4. 마지막 답에서 세제곱 단위를 빠뜨리는 것

문제에서 정확한 값을 요구하면 답을 $\pi$를 포함한 형태로 두세요. 근삿값을 요구하면 특별한 지시가 없는 한 마지막에 반올림하세요.

구의 부피 공식을 사용하는 경우

구의 부피는 물체를 구로 볼 수 있는 기하, 측정, 과학 문제에서 자주 나옵니다. 대표적인 예로 공, 비눗방울, 물방울, 일부 탱크가 있습니다.

조건도 중요합니다. 물체가 완전한 구가 아니라 대략 구 모양이라면, 계산 결과도 근삿값입니다.

다음으로 넘어가기 전 빠른 확인

반지름이 커지면 부피는 반지름보다 훨씬 더 빠르게 증가해야 합니다. 예를 들어 반지름이 3배가 되면 부피는 $3^3 = 27$배가 됩니다. 최종 답이 이런 증가를 반영하지 않는다면 식을 다시 확인하세요.

비슷한 문제를 직접 풀어보세요

반지름이 $4$ m인 구를 직접 생각해 보세요. 먼저 정확한 부피를 구하고, 그다음 소수 근삿값도 구해 보세요. 그 후 반지름만 $8$ m로 바꾸어 두 결과를 비교하면, $r^3$ 항이 부피에 얼마나 큰 영향을 주는지 확인할 수 있습니다.