피라미드의 부피 — 공식과 예제

피라미드의 부피는 $V = \frac{1}{3}Bh$를 사용해 구합니다. 여기서 $B$는 밑면의 넓이이고, $h$는 수직 높이입니다. 이 공식은 밑면의 모양이 아니라 밑면의 넓이에 따라 결정되므로, 정사각뿔, 직사각뿔, 삼각뿔에 모두 적용됩니다.

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

이미 밑면의 넓이를 알고 있다면 계산은 보통 빠릅니다. 수직 높이를 곱한 다음 $3$으로 나누면 됩니다.

피라미드 부피 공식의 의미

$B$는 밑면 한 변의 길이가 아니라 밑면 전체의 넓이를 뜻합니다. 이것이 중요한 이유는 피라미드의 밑면이 정사각형, 직사각형, 삼각형처럼 여러 모양일 수 있기 때문입니다.

$h$는 밑면에서 꼭짓점까지의 곧은 높이입니다. 반드시 밑면에 수직이어야 합니다. 문제에서 옆면의 높이가 주어졌다면, 먼저 그것을 수직 높이로 바꾸지 않는 한 그대로는 사용할 수 없습니다.

$\frac{1}{3}$은 같은 밑면의 넓이와 같은 수직 높이를 가진 각기둥과 비교했을 때, 피라미드의 부피가 그 3분의 1이라는 뜻입니다.

왜 3분의 1이 붙을까?

같은 밑면의 넓이 $B$와 높이 $h$를 가진 각기둥의 부피는

$$V_{\text{prism}} = Bh$$

입니다.

피라미드는 위로 갈수록 한 점으로 좁아지므로, 그 각기둥보다 차지하는 공간이 더 작습니다. 같은 밑면의 넓이와 수직 높이를 가지면, 정확히 그 3분의 1만큼의 부피를 가집니다.

$$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3}Bh$$

이 비교는 공식을 기억하는 가장 쉬운 방법인 경우가 많습니다.

풀이 예제: 정사각뿔의 부피

밑면 한 변의 길이가 $6$ cm이고 수직 높이가 $10$ cm인 정사각뿔이 있다고 해 봅시다.

먼저 밑면의 넓이를 구합니다.

$$B = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$$

그다음 공식을 대입합니다.

$$V = \frac{1}{3}Bh$$ $$V = \frac{1}{3}(36)(10)$$

이제 정리하면

$$V = \frac{360}{3} = 120$$

입니다.

따라서 부피는 $120 \text{ cm}^3$입니다.

부피는 3차원 공간을 나타내므로 단위는 세제곱센티미터입니다.

정사각뿔과 직사각뿔의 공식

기본 공식은 같습니다. 달라지는 것은 밑면의 넓이를 구하는 방법뿐입니다.

밑면 한 변의 길이가 $s$인 정사각뿔에서는

$$B = s^2$$

이므로

$$V = \frac{1}{3}s^2 h$$

입니다.

밑면의 가로가 $l$, 세로가 $w$인 직사각뿔에서는

$$B = lw$$

이므로

$$V = \frac{1}{3}lwh$$

입니다.

둘 다 결국 $V = \frac{1}{3}Bh$의 특별한 경우입니다.

피라미드의 부피를 구할 때 자주 하는 실수

1. 밑면 전체의 넓이 대신 한 변의 길이만 사용하는 것. 공식에는 밑면의 한 치수가 아니라 $B$가 필요합니다.
2. 수직 높이 대신 옆면의 높이를 사용하는 것. 부피는 밑면까지의 곧은 높이에 따라 결정됩니다.
3. $\frac{1}{3}$을 빼먹는 것. 이것이 없으면 같은 밑면과 높이를 가진 각기둥의 부피를 계산하게 됩니다.
4. 제곱 단위를 쓰는 것. 밑면의 넓이는 제곱 단위를 쓰지만, 부피는 세제곱 단위를 써야 합니다.
5. 밑면이 실제로 정사각형이 아닌데도 $V = \frac{1}{3}s^2 h$ 같은 공식을 그대로 사용하는 것.

이 공식을 사용하는 경우

이 공식은 기하학, 측정, 건설 물량 추정, 그리고 입체도형을 피라미드 또는 피라미드에 가까운 형태로 볼 수 있는 여러 상황에서 등장합니다.

물체가 완전히 피라미드 모양이 아니라 대략 비슷한 형태라면 결과도 근삿값이 됩니다. 그래도 빠르게 실용적인 부피를 구해야 할 때 이 공식은 여전히 유용합니다.

마무리 전에 빠르게 확인하기

같은 밑면의 넓이와 높이를 가진 각기둥의 부피가 $Bh$라면, 피라미드의 부피는 $Bh/3$이어야 합니다.

따라서 답이 $Bh$와 같게 나왔다면, 아마도 $\frac{1}{3}$을 빠뜨렸을 가능성이 큽니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

밑면이 $8$ cm × $5$ cm이고 수직 높이가 $9$ cm인 직사각뿔을 생각해 보세요. 먼저 밑면의 넓이를 구한 다음 $V = \frac{1}{3}Bh$를 적용해 보세요.

직접 숫자를 바꿔 보며 경우를 빠르게 비교하고 싶다면, GPAI Solver로 비슷한 부피 문제를 풀어 보고 밑면의 넓이나 높이만 바뀔 때 답이 어떻게 달라지는지 확인해 보세요.