발산과 컬

발산과 컬은 벡터장의 서로 다른 두 가지 국소적 성질을 설명합니다. 발산은 한 점 근처에서 장이 바깥으로 퍼지는지 안으로 모이는지를 나타내고, 컬은 작은 물체를 회전시키려는 경향이 있는지를 나타냅니다.

하나만 기억해야 한다면 이렇게 구분하면 됩니다. 발산은 국소적인 유출에 관한 것이고, 컬은 국소적인 회전에 관한 것입니다.

발산은 국소적인 유출 또는 유입을 나타냅니다

3차원 벡터장

$$\mathbf{F} = (P, Q, R),$$

에 대해 발산은

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

입니다.

이 식은 각 성분이 자기 방향으로 얼마나 변하는지를 더한 것입니다. 어떤 점에서 이 값이 양수이면, 그 점 근처에서 장은 더 바깥으로 흘러나가는 흐름처럼 작용합니다. 음수이면, 그 점 근처에서 장은 더 안쪽으로 모여드는 흐름처럼 작용합니다.

이런 흐름의 그림은 벡터장이 그 점 근처에서 미분 가능하고, 실제로 속도 같은 물리량을 나타낼 때 특히 유용합니다.

컬은 국소적인 회전을 나타냅니다

같은 3차원 장에 대해 컬은

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$$

입니다.

컬은 국소적인 회전을 측정합니다. 컬이 0이 아니면, 그 장은 아주 작은 물레방아를 회전시키려는 경향이 있다는 뜻입니다.

2차원 장 $\mathbf{F} = (P, Q)$에서는 많은 과정에서

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$

를 “컬”로 사용합니다. 엄밀히 말하면, 이것은 장이 평면 위에 놓여 있을 때 3차원 컬의 $z$성분입니다.

하나의 예제로 보는 발산과 컬의 차이

가장 분명한 비교는 순수하게 퍼지는 장과 순수하게 회전하는 장을 나란히 놓고 보는 것입니다.

먼저,

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y)$$

를 생각해 봅시다.

이 장은 원점에서 바깥쪽을 향하고, 멀어질수록 화살표가 길어집니다. 이 장의 발산은

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} = 1 + 1 = 2$$

입니다.

2차원 컬 값은

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0$$

입니다.

따라서 이 장은 발산은 양수이고 컬은 없습니다. 회전 없이 순수하게 국소적으로 퍼지는 장처럼 행동합니다.

이제 이를

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x)$$

와 비교해 봅시다.

이 장은 원점 주위를 돕니다. 이 장의 발산은

$$\nabla \cdot \mathbf{G} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} = 0 + 0 = 0$$

입니다.

2차원 컬 값은

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$$

입니다.

따라서 이 장은 발산은 0이지만 컬은 0이 아닙니다. 순 유출 없이 국소적인 회전만 있는 장처럼 행동합니다.

이것이 핵심적인 대비입니다.

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y) \quad \text{는 퍼져 나가고,}$$

반면

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x) \quad \text{는 소용돌이칩니다.}$$

문제에서 각 양이 무엇을 감지하는지 묻는다면, 이 예제만으로도 답이 됩니다. 발산은 첫 번째 장을 포착하고, 컬은 두 번째 장을 포착합니다.

발산과 컬에서 흔히 하는 실수

1. 발산과 컬을 같은 종류의 측정이라고 생각하는 것. 둘은 서로 다른 질문에 답합니다.
2. 2차원에서의 컬이 완전한 3차원 벡터가 아니라, 흔히 스칼라 형태의 간단한 표현으로 제시된다는 점을 잊는 것.
3. 발산이 양수이면 벡터가 크다고 생각하는 것. 발산은 화살표 길이만이 아니라 장이 어떻게 변하는지에 달려 있습니다.
4. 발산이 0이면 장 자체가 0이라고 생각하는 것. 장은 모든 곳에서 0이 아니어도 발산이 0일 수 있습니다.
5. 모델을 확인하지 않고 흐름 해석을 그대로 쓰는 것. “원천”, “흡수원”, “회전”은 물리적 직관이지, 모든 맥락에서 자동으로 성립하는 사실은 아닙니다.

발산과 컬은 어디에 쓰일까요?

발산과 컬은 벡터해석, 유체 흐름, 전자기학에서 자주 등장합니다. 팽창과 회전이라는 두 가지 유용한 국소적 거동을 구분해 주기 때문입니다.

유체 모형에서 발산은 흐름의 국소적인 압축이나 팽창을 나타낼 수 있고, 컬은 국소적인 회전을 나타낼 수 있습니다. 전자기학에서는 둘 다 맥스웰 방정식에 등장하며, 장의 거동을 전하, 전류, 시간에 따라 변하는 장과 연결해 줍니다.

더 넓게 보면, 발산과 컬은 단순히 화살표를 그리는 데서 그치지 않고 벡터장을 읽어내는 데 도움을 줍니다.

보통 도움이 되는 빠른 직관 그림

장 안에 아주 작은 도구 두 개를 넣는다고 상상해 보세요.

1. 아주 작은 풍선은 그 점 근처에서 장이 팽창시키는지 압축시키는지를 시험합니다. 이것이 발산의 아이디어입니다.
2. 아주 작은 물레방아는 장이 그것을 비틀어 돌리려는지를 시험합니다. 이것이 컬의 아이디어입니다.

이것들은 정의가 아니라 그림이지만, 장이 매끄럽고 흐름처럼 해석할 수 있을 때 매우 유용한 그림입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음 장을 보세요.

$$\mathbf{H}(x,y) = (2x,-2y)$$

이 장의 발산과 2차원 컬 값을 계산해 보세요. 그리고 이 장이 국소적 퍼짐, 국소적 회전, 둘 다, 혹은 둘 다 아닌 것 중 무엇에 더 가까운지 판단해 보세요.

한 번 더 확인하고 싶다면 $\mathbf{K}(x,y) = (x,-x)$도 시도해 보고, 발산이 바뀌는지, 컬이 바뀌는지, 아니면 둘 다 바뀌는지 살펴보세요.