이중적분

이중적분은 이차원 영역 위에서 함수값을 모두 더하는 것입니다. $f(x,y) \ge 0$이면 그 영역 위에서 $z=f(x,y)$ 아래의 부피를 줍니다. $f$의 부호가 바뀌면 대신 순부호가 있는 부피를 줍니다.

보통 다음과 같이 씁니다.

$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

여기서 $R$은 $xy$-평면의 영역이고, $dA$는 아주 작은 면적 요소입니다. 실제로 초반 이중적분 문제의 핵심은 대개 두 가지입니다. 영역을 정확히 읽는 것과, 그 영역에 맞는 적분 경계를 정하는 것입니다.

이중적분의 의미

읽어야 할 부분은 세 가지입니다.

• $f(x,y)$는 더하는 함수입니다.
• $R$은 그 함수를 더하는 영역입니다.
• $dA$는 아주 작은 면적 조각을 뜻합니다.

따라서 $\iint_R f(x,y)\,dA$는 “$R$ 안의 모든 작은 면적 조각에 대해 $f$의 값을 더하라”는 뜻입니다. 만약 $f(x,y)=1$이면 결과는 그냥 $R$의 넓이입니다. 이것은 이중적분이 단지 곡면 아래의 부피만이 아니라, 면적 위의 누적량을 측정한다는 점을 보여 주는 좋은 확인 방법입니다.

왜 이중적분은 자주 반복적분이 되는가

많은 미적분 문제에서 이중적분은 두 개의 단일적분으로 바꾸어 계산합니다. 직사각형 영역에서는 물론이고, 더 일반적으로는 영역 위에서 연속인 경우 같은 표준 조건 아래에서 한 번에 한 변수씩 적분할 수 있습니다.

직사각형 $R = [a,b] \times [c,d]$에 대해,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$$

또는 더 간단하다면,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$$

적분 순서는 설정과 계산의 편의성에 영향을 줍니다. 일반적인 수업 조건에서는 두 반복적분이 같은 양을 나타내지만, 한쪽 순서가 훨씬 계산하기 쉬운 경우가 많습니다.

단일적분에서는 구간을 아주 작은 너비 $dx$로 나눈다고 생각할 수 있습니다. 이중적분에서는 영역을 넓이 $dA$를 가진 아주 작은 직사각형들로 나눕니다.

각 작은 직사각형은 대략

$$f(x,y)\,dA$$

만큼 기여합니다.

이 기여들을 전체 영역에 걸쳐 모두 더하면 총누적량이 됩니다.

직사각형 영역에서의 이중적분 예제

다음을 구해 봅시다.

$$\iint_R (x+2y)\,dA$$

여기서

$$R = \{(x,y) : 0 \le x \le 2,\ 1 \le y \le 3\}.$$

이 영역은 직사각형이므로 반복적분으로 바로 쓸 수 있습니다.

$$\iint_R (x+2y)\,dA = \int_0^2 \int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx.$$

먼저 $y$에 대해 적분합니다. 이때 $x$는 상수로 취급합니다.

$$\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy + y^2\right]_1^3 = (3x+9)-(x+1) = 2x+8.$$

이제 바깥 식을 $x$에 대해 적분합니다.

$$\int_0^2 (2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 4+16 = 20.$$

따라서

$$\iint_R (x+2y)\,dA = 20.$$

이 결과는 타당합니다. $x+2y$는 $R$ 전체에서 항상 양수이므로 총누적량도 양수여야 하기 때문입니다.

영역이 직사각형이 아닐 때 달라지는 점

영역이 직사각형이 아니면 적분 경계가 다른 변수에 의존하는 경우가 많습니다. 예를 들어 다음과 같이 곡선으로 주어진 영역을 볼 수 있습니다.

$$0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x+1.$$

이 경우 안쪽 경계는 더 이상 상수가 아닙니다. $x$에 따라 달라집니다.

그래서 영역을 스케치하는 것이 중요합니다. 많은 학생 풀이에서 계산 자체는 맞는데, 영역을 잘못 잡는 경우가 있습니다.

이중적분에서 자주 하는 실수

1. 의도한 영역과 맞지 않는 경계를 사용하는 것.
2. 어떤 변수를 먼저 적분하는지 잊는 것. $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$에서는 안쪽 적분이 $y$에 대한 적분입니다.
3. 안쪽 적분 단계에서 두 변수를 모두 움직이는 변수처럼 다루는 것. 그 단계에서는 바깥 변수를 상수로 보아야 합니다.
4. 함수값이 음수가 될 때도 결과를 기하학적 부피라고 생각하는 것. 이 경우 이중적분은 부호가 있는 부피를 줍니다.
5. 적분 순서를 바꾸면서 경계를 올바르게 바꾸지 않는 것.

이중적분은 어디에 쓰이나

이중적분은 어떤 양이 선이 아니라 면적 전체에 걸쳐 분포할 때 나타납니다.

• 기하학에서는 넓이 또는 곡면 아래의 부피를 구합니다.
• 물리학에서는 밀도가 위치에 따라 달라질 때 얇은 판의 질량을 더하는 데 쓸 수 있습니다.
• 확률에서는 두 변수의 연속 결합분포에 등장합니다.
• 공학에서는 어떤 양이 표면이나 단면 전체에서 변할 때 사용됩니다.

해석은 함수에 따라 달라집니다. 적분함수가 밀도이면 결과는 질량이고, 적분함수가 높이면 결과는 부호가 있는 부피입니다.

비슷한 문제를 직접 해 보기

예제를 다음과 같이 바꾸어 직접 풀어 보세요.

$$\iint_R (2x+y)\,dA$$

같은 직사각형 $0 \le x \le 2$, $1 \le y \le 3$에서 계산해 보세요. 그런 다음 적분 순서를 바꾸어도 값이 같은지 확인해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면, 경계가 다른 변수에 의존하는 삼각형 영역에서도 비슷한 문제를 살펴보세요.