지수함수 — 증가, 감소와 그래프

지수함수는 반복되는 곱셈을 나타내는 데 쓰입니다. 표준형 $f(x) = a b^x$에서 변수는 지수에 있고, $a$는 시작값, $b$는 $x$가 $1$씩 증가할 때마다 계속 곱해지는 일정한 배수입니다.

$b > 1$이면 함수는 증가를 나타냅니다. $0 < b < 1$이면 감소를 나타냅니다. 이것이 대부분의 학생이 가장 먼저 알아야 할 핵심입니다.

$$f(x) = a b^x$$

실숫값을 갖는 지수함수에서는 보통 $b > 0$이고 $b \ne 1$이라는 조건을 둡니다.

지수함수의 정의

가장 중요한 판별 기준은 간단합니다. 입력 변수, 보통 $x$가 지수에 있어야 합니다. 그래야 이 관계가 덧셈이 아니라 곱셈에 의한 변화가 됩니다.

따라서 $f(x) = 3 \cdot 2^x$는 지수함수이지만, $f(x) = 3x^2$는 지수함수가 아닙니다. $3x^2$에서는 변수가 지수가 아니라 밑에 있습니다.

이 차이는 변화의 패턴을 완전히 바꿉니다. 다항함수는 $x$의 거듭제곱에 따라 커집니다. 지수함수는 $x$가 $1$ 증가할 때마다 같은 배수로 커지거나 작아집니다.

지수함수에서 증가와 감소

식

$$f(x) = a b^x$$

에서 밑 $b$가 함수의 거동을 결정합니다.

• $b > 1$이면 오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 함수값에 $1$보다 큰 수를 곱하므로 그래프가 증가합니다.
• $0 < b < 1$이면 오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 함수값에 분수를 곱하므로 그래프가 감소합니다.

예를 들어 $2^x$는 한 단계마다 $2$를 곱하므로 증가합니다. 반면 $\left(\frac{1}{2}\right)^x$는 한 단계마다 $\frac{1}{2}$를 곱하므로 감소합니다.

지수함수 그래프의 성질

기본적인 지수함수의 그래프는 끊어진 점들의 모임이 아니라 매끄러운 곡선입니다. 초반에 꼭 확인할 만한 특징이 몇 가지 있습니다.

1. $b^0 = 1$이므로 $x = 0$에서 $f(0) = a$를 지나갑니다.
2. 기본형에서 $a > 0$이면 그래프는 $x$축 위에만 있습니다.
3. $y = 0$은 수평점근선이므로 그래프는 $x$축에 점점 가까워지지만 닿지는 않습니다.
4. 증가 그래프는 오른쪽으로 갈수록 올라가고, 감소 그래프는 오른쪽으로 갈수록 내려갑니다.

이런 특징을 알면 많은 점을 계산하기 전에도 그래프를 빠르게 읽을 수 있습니다.

예제: $f(x) = 3 \cdot 2^x$의 그래프 그리기

이 예제는 가장 중요한 두 가지, 즉 시작값과 증가 배수를 한 번에 보여 줍니다.

$$f(x) = 3 \cdot 2^x$$

먼저 몇 개의 값을 구해 봅시다.

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \frac{3}{4} & \frac{3}{2} & 3 & 6 & 12 \end{array}$$

이제 그래프를 더 쉽게 해석할 수 있습니다.

• y절편은 $(0, 3)$이므로 초기값은 $3$입니다.
• 오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 함수값이 두 배가 됩니다. 밑이 $2$이기 때문입니다.
• 그래프는 점점 더 빠르게 증가하지만, 왼쪽 멀리에서는 여전히 $y = 0$에 가까워집니다.

밑을 $2$에서 $\frac{1}{2}$로 바꾸면, 같은 형태의 식이 증가가 아니라 지수적 감소를 나타내게 됩니다.

자주 하는 실수

지수함수와 다항함수를 헷갈리는 경우

$x^3$은 지수함수가 아닙니다. 변수는 밑에 있습니다. $3^x$에서는 변수가 지수에 있으므로 이것이 지수함수입니다.

밑이 증가와 감소를 결정한다는 점을 놓치는 경우

표준형 $a b^x$에서 $a > 0$이면, $b > 1$은 증가이고 $0 < b < 1$은 감소입니다. 이 구분은 밑으로 결정되며, 그래프가 "나중에 올라가는 것 같다"는 막연한 느낌으로 판단하는 것이 아닙니다.

시작값을 잊는 경우

$f(x) = a b^x$에서 $x = 0$일 때의 값은 $a$입니다. 이것이 초기량입니다.

배수와 퍼센트 변화를 혼동하는 경우

어떤 양이 한 단계마다 $20\%$씩 증가하면 곱하는 수는 $0.2$가 아니라 $1.2$입니다. 한 단계마다 $20\%$씩 감소하면 곱하는 수는 $0.8$입니다.

지수함수가 사용되는 경우

지수함수는 같은 시간 간격마다 일정한 배수로 변화가 일어날 때 사용됩니다. 대표적인 예는 다음과 같습니다.

• 복리 이자
• 일정한 증가율을 따르는 인구 증가
• 방사성 붕괴
• 냉각 모형과 그 밖의 감소 과정

변화가 곱셈이 아니라 덧셈으로 일어난다면, 보통 지수모형은 적절하지 않습니다.

비슷한 예제를 직접 해 보세요

이번에는 $f(x) = 5(0.7)^x$로 직접 해 보세요. $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$를 구한 뒤 그래프를 스케치하고, 함수값이 매 단계마다 같은 배수로 줄어드는지 확인해 보세요. 밑을 $2$에서 $0.7$로 바꾸는 것만으로도 증가와 감소의 차이를 분명하게 볼 수 있습니다.