집합론 — 정의, 연산, 벤 다이어그램

집합론은 집합이라고 하는 대상들의 모임을 다룹니다. 학교 수학 수준에서는 원소, 부분집합, 합집합, 교집합, 차집합, 그리고 전체집합에 대한 여집합이 핵심 개념입니다.

조금 추상적으로 들린다면, 물건을 여러 그룹으로 나누고 그 그룹들이 어디에서 겹치는지 추적한다고 생각해 보세요. 그래서 집합론과 벤 다이어그램은 경우의 수, 논리, 확률에서 자주 등장합니다.

집합론의 정의: 원소, 소속, 부분집합

만약 $A = \{2,4,6,8\}$라면, 숫자 $4$는 $A$의 원소이며 $4 \in A$라고 씁니다. 숫자 $5$는 $A$의 원소가 아니므로 $5 \notin A$라고 씁니다.

부분집합은 그 집합의 모든 원소가 다른 집합에도 속하는 집합입니다. 예를 들어 $B = \{2,4\}$이면, $B$의 모든 원소가 $A$에도 있으므로 $B \subseteq A$입니다.

집합의 같음은 순서가 아니라 내용으로 결정됩니다. $\{1,2,3\}$과 $\{3,2,1\}$은 같은 원소를 담고 있으므로 서로 같은 집합입니다.

집합의 연산: 합집합, 교집합, 차집합, 여집합

두 집합 $A$와 $B$에 대해 가장 자주 쓰는 연산은 다음과 같습니다.

• 합집합: $A \cup B$는 $A$에 있거나 $B$에 있거나 둘 다에 있는 모든 원소를 뜻합니다.
• 교집합: $A \cap B$는 두 집합 모두에 속하는 원소를 뜻합니다.
• 차집합: $A \setminus B$는 $A$에는 있지만 $B$에는 없는 원소를 뜻합니다.
• 여집합: $A^c$는 $A$에 속하지 않는 모든 것을 뜻하지만, 반드시 전체집합 $U$를 먼저 정한 뒤에만 의미가 있습니다.

마지막 조건은 중요합니다. 여집합은 절대적인 개념이 아닙니다. 전체집합이 바뀌면 여집합도 달라질 수 있습니다.

집합의 벤 다이어그램 읽는 법

벤 다이어그램은 집합을 영역으로 나타낸 그림으로, 보통 전체집합을 나타내는 직사각형 안에 원을 그려 표현합니다. 겹치는 부분은 교집합을 나타냅니다. 두 원 전체를 합친 영역은 합집합을 나타냅니다.

이 점이 중요한 이유는 많은 실수가 서로 다른 세 영역을 혼동해서 생기기 때문입니다.

• $A$에만 있는 부분
• $B$에만 있는 부분
• $A$와 $B$ 모두에 있는 부분

이 영역들을 먼저 나누어 보면, 어떤 연산을 해야 하는지가 대개 바로 분명해집니다.

예제로 보는 합집합, 교집합, 차집합, 여집합

다음을 두고 생각해 봅시다.

$$A = \{1,2,3,4\}, \qquad B = \{3,4,5,6\}$$

그리고 전체집합을 다음과 같이 둡니다.

$$U = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$

먼저 겹치는 부분부터 봅시다. 두 집합에 모두 있는 원소는 $3$과 $4$이므로,

$$A \cap B = \{3,4\}$$

이제 두 집합 중 하나라도 나타나는 모든 원소를 모으면,

$$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$$

이제 $A$에서 $B$에도 나타나는 원소를 빼면 다음이 남습니다.

$$A \setminus B = \{1,2\}$$

$A$의 여집합은 전체집합 안에서 $A$에 속하지 않는 원소를 고르면 됩니다.

$$A^c = \{5,6,7,8\}$$

벤 다이어그램으로 나타내면 $3$과 $4$는 겹치는 부분에 들어가고, $1$과 $2$는 $A$ 원 안에만 들어갑니다. $5$와 $6$은 $B$ 원 안에만 들어가며, $7$과 $8$은 두 원 바깥이지만 여전히 $U$를 나타내는 직사각형 안에 있습니다.

알맞은 집합 연산을 빠르게 고르는 법

문제의 표현에서 다음과 같은 말은 보통 해당 연산을 뜻합니다.

• "$A$ 또는 $B$에 있는"은 보통 $A \cup B$
• "둘 다에 있는"은 보통 $A \cap B$
• "$A$에는 있지만 $B$에는 없는"은 보통 $A \setminus B$
• "$A$에 없는"은 보통 $A^c$이지만, 먼저 $U$가 분명해야 합니다

이 정도만 알아도 실제 계산을 하기 전에 어떤 연산을 써야 할지 판단하는 데 충분한 경우가 많습니다.

집합론에서 자주 하는 실수

합집합과 교집합을 헷갈리는 경우. 합집합은 둘 중 하나의 집합에라도 속하는 모든 원소입니다. 교집합은 겹치는 부분만 뜻합니다. 두 그룹이 공통으로 가지는 것을 묻는 문제라면 합집합은 범위가 너무 넓습니다.

여집합에서 전체집합을 빠뜨리는 경우. $U$를 밝히지 않고 $A^c$를 쓰면 의미가 완전하지 않습니다. 여집합은 어떤 전체 안에서 생각하느냐에 따라 달라지기 때문입니다.

원소 기호와 부분집합 기호를 혼동하는 경우. $3 \in A$는 하나의 원소에 대한 말입니다. $\{3\} \subseteq A$는 그 원소를 포함한 집합에 대한 말입니다. 서로 관련은 있지만 같은 뜻은 아닙니다.

겹치는 원소를 두 번 세는 경우. 두 집합이 겹칠 때 크기를 그냥 더하면 겹치는 부분이 두 번 계산됩니다. 이 경우에는

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

를 사용합니다. 이 공식 때문에 벤 다이어그램은 경우의 수와 확률 문제에서 특히 유용합니다.

집합론은 어디에 쓰일까

집합론은 확률, 논리, 데이터베이스, 그리고 거의 모든 고등수학 분야에 등장합니다. 학교 수학에서는 특히 범주를 정리하거나, 겹치는 부분을 추적하거나, 경우의 수를 정확히 셀 때 유용합니다.

확률 문제가 운동을 하는 학생, 어떤 사람이 할 수 있는 언어, 또는 공통 성질을 가진 결과를 묻는다면, 집합으로 그림을 그려 보는 것이 가장 빠른 해결 방법인 경우가 많습니다.

비슷한 집합론 문제를 직접 풀어 보기

예를 들어 $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ 안에서 $2$의 배수 집합과 $3$의 배수 집합처럼 작은 두 집합을 정해 보세요. 합집합, 교집합, 차집합, 여집합을 구한 뒤 벤 다이어그램을 그리고, 각 수가 올바른 영역에 들어가는지 확인해 보세요.