무리근호식 — 간단히 하기, 더하기, 유리화

무리근호식은 간단히 해도 여전히 무리수인 근호식입니다. 대표적인 예로 $\sqrt{2}$와 $3\sqrt{5}$가 있습니다. 무리근호식을 다룰 때는 먼저 간단히 하고, 동류 무리근호식끼리만 합치며, 분모에 근호가 남아 있으면 유리화합니다.

무리근호식이 중요한 이유는 정확한 값을 그대로 나타내기 때문입니다. 예를 들어 $\sqrt{2}$는 $1.414$ 같은 반올림한 소수보다 더 정확합니다.

무리근호식이란 무엇인가

어떤 근호가 간단히 했을 때 유리수가 되면, 보통 그것은 무리근호식으로 보지 않습니다. 예를 들어,

$$\sqrt{9} = 3$$

이므로 $\sqrt{9}$는 간단히 하면 무리근호식이 아닙니다.

하지만

$$\sqrt{2}$$

는 유리수로 간단히 되지 않으므로 무리근호식입니다.

같은 생각이 $2\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$, $5\sqrt{11}$ 같은 식에도 적용됩니다. 이런 식들은 간단히 해도 여전히 무리수인 정확한 근호식입니다.

무리근호식을 간단히 하는 방법

무리근호식을 간단히 하려면 근호 안에서 완전제곱인 인수를 찾습니다.

예를 들어,

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

목표는 완전제곱인 부분을 근호 밖으로 꺼내고, 완전제곱이 아닌 부분만 근호 안에 남기는 것입니다.

근호 안의 수가 $1$보다 큰 완전제곱인 인수를 가지지 않으면, 그 무리근호식은 이미 간단한 형태입니다.

무리근호식을 더하고 빼는 방법

무리근호식은 동류 무리근호식일 때만 더하거나 뺄 수 있습니다. 즉, 간단히 한 뒤 근호 부분이 같아야 합니다.

예를 들어,

$$2\sqrt{8} + \sqrt{18}$$

은 바로 합칠 수 없습니다. 먼저 각 무리근호식을 간단히 합니다.

$$2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

그리고

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

이제 두 항의 근호 부분이 같으므로,

$$4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$

핵심 패턴은 이것입니다. 먼저 간단히 하고, 그다음 근호 부분이 같으면 계수끼리 합칩니다.

예제: 간단히 하고, 더한 뒤, 유리화하기

다음을 간단히 하세요.

$$\frac{2\sqrt{8} + \sqrt{18}}{\sqrt{3}}$$

먼저 분자를 간단히 합니다.

$$2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$$

그리고

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

따라서 분수는

$$\frac{4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

가 됩니다.

이제 분자와 분모에 $\sqrt{3}$를 곱해 분모를 유리화합니다.

$$\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{6}}{3}$$

따라서 간단히 한 결과는

$$\frac{7\sqrt{6}}{3}$$

입니다.

이 한 예제에 전체 과정이 모두 들어 있습니다. 각 무리근호식을 간단히 하고, 동류 무리근호식을 합친 다음, 마지막으로 분모를 유리화합니다.

분모를 유리화하는 방법

분모를 유리화한다는 것은 분수의 값은 바꾸지 않으면서 분모의 근호를 없애는 뜻입니다.

분모가 하나의 무리근호식이면, 분자와 분모에 그 무리근호식을 곱합니다. 예를 들어,

$$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$

분모가 $a + \sqrt{b}$처럼 두 항으로 이루어져 있으면, 켤레식 $a - \sqrt{b}$를 사용합니다. 그 이유는

$$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$$

이고, $a^2 - b$에는 무리근호식 항이 남지 않기 때문입니다.

무리근호식에서 자주 하는 실수

간단히 하기 전에 먼저 더하기

$\sqrt{8}$과 $\sqrt{18}$은 바로 보면 동류 무리근호식처럼 보이지 않지만, 간단히 하면 $2\sqrt{2}$와 $3\sqrt{2}$가 됩니다. 간단히 하는 단계를 건너뛰면 쉽게 합칠 수 있는 식을 놓치기 쉽습니다.

동류가 아닌 무리근호식 합치기

일반적으로,

$$\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5}$$

간단히 한 뒤 근호 부분이 같을 때만 계수를 합칠 수 있습니다.

덧셈에 대해 근호를 나누기

일반적으로,

$$\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

예를 들어 $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$이지만, $\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$이므로 $3$과 같지 않습니다.

근호를 잘못 약분하기

다음 식에서

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

근호 안의 수가 서로 다르므로 제곱근끼리 약분할 수 없습니다. 올바르게 간단히 하거나 분모를 유리화해야 합니다.

무리근호식은 언제 쓰일까

무리근호식은 정확한 값에 완전제곱이 아닌 수의 제곱근이 포함될 때 나타납니다. 자주 나오는 곳으로는 기하, 피타고라스 정리, 이차방정식, 삼각법, 대수식의 간단화가 있습니다.

특히 소수 근삿값보다 정확한 형태가 더 중요할 때 유용합니다. 예를 들어 한 변의 길이가 $3$인 정사각형의 대각선은 근삿값이 아니라 정확히 $3\sqrt{2}$입니다.

무리근호식 문제 빠른 점검표

무리근호식을 계산할 때는 다음을 확인해 보세요.

1. 모든 무리근호식을 먼저 간단히 했는가?
2. 더하거나 빼기 전에 정말 동류 무리근호식인가?
3. 분수가 있다면 분모에 아직 근호가 남아 있는가?
4. 문제에서 소수를 요구하지 않는 한 답을 정확한 형태로 유지하고 있는가?

이 네 가지를 확인하면 기본적인 실수를 대부분 막을 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음을 간단히 해 보세요.

$$\frac{\sqrt{50} + \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$$

같은 순서로 풀면 됩니다. 각 무리근호식을 먼저 간단히 하고, 동류항을 합친 뒤, 마지막으로 유리화가 더 필요한지 확인하세요. 단계별 풀이 도구를 쓴다면 최종 답만 보지 말고 각 대수 단계를 비교해 보세요.